Wiskundeforum

Hallo,

Ik ben bezig met het bepalen van de afgeleide van een aantal goniometrische functies.
Sommige sommen kom ik wel uit,maar bij een aantal loop ik vast, onder andere de volgende;

f(x)= 1+tan(x) / 1-tan(x)

ik maak gebruik van de formule: y= u/v => y'= v*u' - u*v' / v^2

f'(x) =(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1-cos(x) * - 1/cos^2(x) / (1 - tan(x)^2

=> 1-tan(x) * 1-(1-cos(x)) -1 / (1-tan(x))^2 *cos^2(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)


vanaf het laatste punt kom ik verder, wie kan me daar bij helpen ?

Wellicht is het handiger om eerst een en ander wat te herschrijven. Zo is 1+tan x = 1-tan x+2tan x, dus . Differentieer nu om tot het gevraagde antwoord te komen. Merk op dat als tan x = u betekent dat de teller als 2u en de noemer als 1-u te schrijven is. Wat is dan de afgeleide van de teller, wat is dan de afgeleide van de noemer, dus wat wordt dan de uiteindelijke afgeleide?

arno schreef:Wellicht is het handiger om eerst een en ander wat te herschrijven. Zo is 1+tan x = 1-tan x+2tan x, dus . Differentieer nu om tot het gevraagde antwoord te komen. Merk op dat als tan x = u betekent dat de teller als 2u en de noemer als 1-u te schrijven is. Wat is dan de afgeleide van de teller, wat is dan de afgeleide van de noemer, dus wat wordt dan de uiteindelijke afgeleide?

Aha daar ging het dus al mis bij mij.
Als ik het nu goed begrijp is de volgende stap:

1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1-tan(x) ^ 2

Klopt het tot zo ver ?

Westerwolde schreef:Aha daar ging het dus al mis bij mij.
Als ik het nu goed begrijp is de volgende stap:

1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1-tan(x) ^ 2

Klopt het tot zo ver ?

De uitwerking van de teller klopt tot zover, maar de noemer niet. Waaraan is (a-b)² gelijk? Wat wordt dus de uitdrukking voor de noemer?

arno schreef:

Westerwolde schreef:Aha daar ging het dus al mis bij mij.
Als ik het nu goed begrijp is de volgende stap:

1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1-tan(x) ^ 2

Klopt het tot zo ver ?

De uitwerking van de teller klopt tot zover, maar de noemer niet. Waaraan is (a-b)² gelijk? Wat wordt dus de uitdrukking voor de noemer?

(a-b)^2 = (a+b)(a-b)


1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1+tan(x) * 1-tan(x)

Is nu de volgende stap cos^2(x) uit de teller vermenigvuldigen ?

Westerwolde schreef:(a-b)^2 = (a+b)(a-b)

Dit is fout. Bedenk dat (a-b)² = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = ...

arno schreef:

Westerwolde schreef:(a-b)^2 = (a+b)(a-b)

Dit is fout. Bedenk dat (a-b)² = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = ...

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

In dat geval geldt voor de noemer: 1-2tan(x) + tan^2(x)

Westerwolde schreef:(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

In dat geval geldt voor de noemer: 1-2tan(x) + tan^2(x)

Dat klopt. Je kunt de noemer laten staan als (1-tan x)². Wat vind je als uiteindelijke waarde voor de teller, dus wat wordt de uiteindelijke afgeleide?

arno schreef:

Westerwolde schreef:(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

In dat geval geldt voor de noemer: 1-2tan(x) + tan^2(x)

Dat klopt. Je kunt de noemer laten staan als (1-tan x)². Wat vind je als uiteindelijke waarde voor de teller, dus wat wordt de uiteindelijke afgeleide?

=> 1-tan(x)*2 - (2tan(x)*(-1) /
(1-tan(x))^2 (cos(x))^2

=> 2-tan(x) + 2 tan(x) /
(1-tan(x))^2 (cos(x))^2

=> 2 /
(1-tan(x))^2 (cos(x))^2

Kunnen we nog iets aan de noemer wijzigen ?

Je krijgt als uiteindelijke afgeleide inderdaad . Merk op dat dit te herschrijven is als , wat het uiteindelijke resultaat van de afgeleide is.

arno schreef:Je krijgt als uiteindelijke afgeleide inderdaad . Merk op dat dit te herschrijven is als , wat het uiteindelijke resultaat van de afgeleide is.

Ik zie dat ik ook een kwadraat te veel had in de noemer bij cos(x)

Maar hoe raak jij die cos^2(x) kwijt in de noemer ?

Westerwolde schreef: f(x)= 1+tan(x) / 1-tan(x)

Allereerst bedoel je hier: f(x)= [1+tan(x)] /[1-tan(x)]

Ik gebruik hier vierkante haken om het sterker te benadrukken, Geen haakjes gebruiken is foutief, ga dat na!

De 'vereenvoudiging' van arno is, hoe goed bedoeld, onnodig en niet besparend.

f'(x) =(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1-cos(x) * - 1/cos^2(x) / (1 - tan(x)^2

=> 1-tan(x) * 1-(1-cos(x)) -1 / (1-tan(x))^2 *cos^2(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)

Ik geef de verbeteringen aan:

f'(x) =[(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1+tan(x)) * - 1/cos^2(x)] / (1 - tan(x))^2

Dit leidt direct na haakjes verdrijven in de teller tot:

=> 2 /[(1-tan(x))^2 *cos^2(x)]= 2/[(1-tan(x))cos(x)]^2

Als je het product van de noemer bepaalt krijg je het 'gewenste' antwoord.

Bepaal ook nog het domein van f(x) en f'(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)

SafeX schreef:

Westerwolde schreef: f(x)= 1+tan(x) / 1-tan(x)

Allereerst bedoel je hier: f(x)= [1+tan(x)] /[1-tan(x)]

Ik gebruik hier vierkante haken om het sterker te benadrukken, Geen haakjes gebruiken is foutief, ga dat na!

De 'vereenvoudiging' van arno is, hoe goed bedoeld, onnodig en niet besparend.

f'(x) =(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1-cos(x) * - 1/cos^2(x) / (1 - tan(x)^2

=> 1-tan(x) * 1-(1-cos(x)) -1 / (1-tan(x))^2 *cos^2(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)

Ik geef de verbeteringen aan:

f'(x) =[(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1+tan(x)) * - 1/cos^2(x)] / (1 - tan(x))^2

Dit leidt direct na haakjes verdrijven in de teller tot:

=> 2 /[(1-tan(x))^2 *cos^2(x)]= 2/[(1-tan(x))cos(x)]^2

Als je het product van de noemer bepaalt krijg je het 'gewenste' antwoord.

Bepaal ook nog het domein van f(x) en f'(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)

Ja oke duidelijk wat je hier boven beschrijft.

Als ik het goed begrijp kun je de noemer nog verder uit werken?
Het product van tan en cos is toch de sinus ?

Westerwolde schreef:Het product van tan en cos is toch de sinus ?

Precies, maar dat kan je zelf ook nauwkeurig uitschrijven (neem ik aan).

Hoe staat f'(x) in jouw antwoorden?

SafeX schreef:

Westerwolde schreef:Het product van tan en cos is toch de sinus ?

Precies, maar dat kan je zelf ook nauwkeurig uitschrijven (neem ik aan).

Hoe staat f'(x) in jouw antwoorden?

(1 - tan(x))^2 * cos^2(x)

=> tan(x) = [sin(x)] / [cos(x)]

=> = [cos(x)] * [sin(x)] / [cos(x)] = [1-sin(x)]^2

=> [2] / [1-sin(x)]^2


Hm in het antwoordenboek staat : [2] / [1-sin(2x)]