Pagina 1 van 5

Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 04 Mrt 2017, 15:21
door Westerwolde
Hallo,

Ik ben bezig met het bepalen van de afgeleide van een aantal goniometrische functies.
Sommige sommen kom ik wel uit,maar bij een aantal loop ik vast, onder andere de volgende;

f(x)= 1+tan(x) / 1-tan(x)

ik maak gebruik van de formule: y= u/v => y'= v*u' - u*v' / v^2

f'(x) =(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1-cos(x) * - 1/cos^2(x) / (1 - tan(x)^2

=> 1-tan(x) * 1-(1-cos(x)) -1 / (1-tan(x))^2 *cos^2(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)


vanaf het laatste punt kom ik verder, wie kan me daar bij helpen ?

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 04 Mrt 2017, 16:22
door arno
Wellicht is het handiger om eerst een en ander wat te herschrijven. Zo is 1+tan x = 1-tan x+2tan x, dus . Differentieer nu om tot het gevraagde antwoord te komen. Merk op dat als tan x = u betekent dat de teller als 2u en de noemer als 1-u te schrijven is. Wat is dan de afgeleide van de teller, wat is dan de afgeleide van de noemer, dus wat wordt dan de uiteindelijke afgeleide?

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 04 Mrt 2017, 17:11
door Westerwolde
arno schreef:Wellicht is het handiger om eerst een en ander wat te herschrijven. Zo is 1+tan x = 1-tan x+2tan x, dus . Differentieer nu om tot het gevraagde antwoord te komen. Merk op dat als tan x = u betekent dat de teller als 2u en de noemer als 1-u te schrijven is. Wat is dan de afgeleide van de teller, wat is dan de afgeleide van de noemer, dus wat wordt dan de uiteindelijke afgeleide?



Aha daar ging het dus al mis bij mij.
Als ik het nu goed begrijp is de volgende stap:

1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1-tan(x) ^ 2

Klopt het tot zo ver ?

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 04 Mrt 2017, 17:49
door arno
Westerwolde schreef:Aha daar ging het dus al mis bij mij.
Als ik het nu goed begrijp is de volgende stap:

1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1-tan(x) ^ 2

Klopt het tot zo ver ?

De uitwerking van de teller klopt tot zover, maar de noemer niet. Waaraan is (a-b)² gelijk? Wat wordt dus de uitdrukking voor de noemer?

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 04 Mrt 2017, 18:27
door Westerwolde
arno schreef:
Westerwolde schreef:Aha daar ging het dus al mis bij mij.
Als ik het nu goed begrijp is de volgende stap:

1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1-tan(x) ^ 2

Klopt het tot zo ver ?

De uitwerking van de teller klopt tot zover, maar de noemer niet. Waaraan is (a-b)² gelijk? Wat wordt dus de uitdrukking voor de noemer?



(a-b)^2 = (a+b)(a-b)


1-tan(x) * 2/cos^2(x) - (2tan(x)) * - 1/cos^2(x) / 1+tan(x) * 1-tan(x)

Is nu de volgende stap cos^2(x) uit de teller vermenigvuldigen ?

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 04 Mrt 2017, 18:58
door arno
Westerwolde schreef:(a-b)^2 = (a+b)(a-b)

Dit is fout. Bedenk dat (a-b)² = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = ...

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 04 Mrt 2017, 19:11
door Westerwolde
arno schreef:
Westerwolde schreef:(a-b)^2 = (a+b)(a-b)

Dit is fout. Bedenk dat (a-b)² = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = ...



(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

In dat geval geldt voor de noemer: 1-2tan(x) + tan^2(x)

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 04 Mrt 2017, 20:02
door arno
Westerwolde schreef:(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

In dat geval geldt voor de noemer: 1-2tan(x) + tan^2(x)

Dat klopt. Je kunt de noemer laten staan als (1-tan x)². Wat vind je als uiteindelijke waarde voor de teller, dus wat wordt de uiteindelijke afgeleide?

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 05 Mrt 2017, 08:35
door Westerwolde
arno schreef:
Westerwolde schreef:(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

In dat geval geldt voor de noemer: 1-2tan(x) + tan^2(x)

Dat klopt. Je kunt de noemer laten staan als (1-tan x)². Wat vind je als uiteindelijke waarde voor de teller, dus wat wordt de uiteindelijke afgeleide?



=> 1-tan(x)*2 - (2tan(x)*(-1) /
(1-tan(x))^2 (cos(x))^2

=> 2-tan(x) + 2 tan(x) /
(1-tan(x))^2 (cos(x))^2

=> 2 /
(1-tan(x))^2 (cos(x))^2

Kunnen we nog iets aan de noemer wijzigen ?

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 05 Mrt 2017, 11:59
door arno
Je krijgt als uiteindelijke afgeleide inderdaad . Merk op dat dit te herschrijven is als , wat het uiteindelijke resultaat van de afgeleide is.

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 05 Mrt 2017, 12:06
door Westerwolde
arno schreef:Je krijgt als uiteindelijke afgeleide inderdaad . Merk op dat dit te herschrijven is als , wat het uiteindelijke resultaat van de afgeleide is.



Ik zie dat ik ook een kwadraat te veel had in de noemer bij cos(x)

Maar hoe raak jij die cos^2(x) kwijt in de noemer ?

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 05 Mrt 2017, 12:17
door SafeX
Westerwolde schreef:f(x)= 1+tan(x) / 1-tan(x)


Allereerst bedoel je hier: f(x)= [1+tan(x)] /[1-tan(x)]

Ik gebruik hier vierkante haken om het sterker te benadrukken, Geen haakjes gebruiken is foutief, ga dat na!

De 'vereenvoudiging' van arno is, hoe goed bedoeld, onnodig en niet besparend.

f'(x) =(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1-cos(x) * - 1/cos^2(x) / (1 - tan(x)^2

=> 1-tan(x) * 1-(1-cos(x)) -1 / (1-tan(x))^2 *cos^2(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)


Ik geef de verbeteringen aan:

f'(x) =[(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1+tan(x)) * - 1/cos^2(x)] / (1 - tan(x))^2

Dit leidt direct na haakjes verdrijven in de teller tot:

=> 2 /[(1-tan(x))^2 *cos^2(x)]= 2/[(1-tan(x))cos(x)]^2

Als je het product van de noemer bepaalt krijg je het 'gewenste' antwoord.

Bepaal ook nog het domein van f(x) en f'(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 05 Mrt 2017, 19:39
door Westerwolde
SafeX schreef:
Westerwolde schreef:f(x)= 1+tan(x) / 1-tan(x)


Allereerst bedoel je hier: f(x)= [1+tan(x)] /[1-tan(x)]

Ik gebruik hier vierkante haken om het sterker te benadrukken, Geen haakjes gebruiken is foutief, ga dat na!

De 'vereenvoudiging' van arno is, hoe goed bedoeld, onnodig en niet besparend.

f'(x) =(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1-cos(x) * - 1/cos^2(x) / (1 - tan(x)^2

=> 1-tan(x) * 1-(1-cos(x)) -1 / (1-tan(x))^2 *cos^2(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)


Ik geef de verbeteringen aan:

f'(x) =[(1-tan(x)) * 1/cos^2(x) - (1+tan(x)) * - 1/cos^2(x)] / (1 - tan(x))^2

Dit leidt direct na haakjes verdrijven in de teller tot:

=> 2 /[(1-tan(x))^2 *cos^2(x)]= 2/[(1-tan(x))cos(x)]^2

Als je het product van de noemer bepaalt krijg je het 'gewenste' antwoord.

Bepaal ook nog het domein van f(x) en f'(x)

=> -tan(x)+cos(x) + 2 / (1 - tan(x))^2 * cos^2(x)




Ja oke duidelijk wat je hier boven beschrijft.

Als ik het goed begrijp kun je de noemer nog verder uit werken?
Het product van tan en cos is toch de sinus ?

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 05 Mrt 2017, 21:32
door SafeX
Westerwolde schreef:Het product van tan en cos is toch de sinus ?


Precies, maar dat kan je zelf ook nauwkeurig uitschrijven (neem ik aan).

Hoe staat f'(x) in jouw antwoorden?

Re: Afgeleide goniometrische functie

BerichtGeplaatst: 06 Mrt 2017, 08:20
door Westerwolde
SafeX schreef:
Westerwolde schreef:Het product van tan en cos is toch de sinus ?


Precies, maar dat kan je zelf ook nauwkeurig uitschrijven (neem ik aan).

Hoe staat f'(x) in jouw antwoorden?



(1 - tan(x))^2 * cos^2(x)

=> tan(x) = [sin(x)] / [cos(x)]

=> = [cos(x)] * [sin(x)] / [cos(x)] = [1-sin(x)]^2

=> [2] / [1-sin(x)]^2


Hm in het antwoordenboek staat : [2] / [1-sin(2x)]