Wiskundeforum

Ik heb een probleem bij het kansrekenen waarvan ik merk dat ik er vaak op struikel, en ik heb moeite om te bepalen waar mijn denkfout zit. Neem deze opdracht:

Gegeven zijn 4 afbeeldingen A, B, C en D deze zijn in gelijke mate verdeeld. Iemand krijgt willekeurig drie
afbeeldingen aangereikt, wat is de kans dat deze persoon er minimaal 2 van A heeft?

Mijn denkwijze om een dergelijke opgave te maken is als volgt:

- Ik heb te maken met een kans van 1/4 per afbeelding A en een kans van 3/4 op een willekeurige andere afbeelding.
- Ik zoek naar de kans dat minimaal 2 van de gekregen 3 afbeeldingen het type afbeelding A zijn.
- Laat X het aantal keren A zijn.
- De kans die ik zoek is gelijk aan de kans P(X=2)+P(X=3)
- P(X=2)=(1/4)^2 *(3/4)*3!
- P(X=3)=(1/4)^3
- Het antwoord is: (1/4)^2*(3/4)*6+(1/4)^3

Nu weet ik dat de bovenstaande uitwerking fout is omdat ik 3! reken en niet 3 mijn vraag is echter waarom dit zo is. De reden dat ik denk dat het 3! is, is omdat ik beredeneer dat ieder van de kaarten in principe een uniek object is dus schematisch redeneer ik dat de volgende mogelijkheden bestaan:

A1-A2-Z
A1-Z-A2
A2-A1-Z
A2-Z-A1
Z-A1-A2
Z-A2-A1
Ergo 3!

Terwijl ik in antwoorden dan vaak vind dat er geredeneerd wordt dat deze mogelijkheden bestaan:

AAZ
AZA
ZAA

Mijn vraag gaat dus niet perse over het gegeven vraagstuk, maar meer over dit probleem waarbij ik objecten zie als hebbend een eigen identiteit terwijl dit blijkbaar niet zo beredeneerd dient te worden; kunnen jullie aangeven waar mijn denkfout zit?

Begin eens met systematisch alle mogelijkheden op te schrijven, dus 3 maal A, B of C, 2 maal A en 1 maal B, C of D, 2 maal B en 1 maal A, C of D, 2 maal C en 1 maal A, B of D, 2 maal D en 1 maal A, B of C. Kijk nu nog wat de mogelijkheden zijn bij 1 maal A, 1 maal B, 1 maal C of 1 maal D. Je weet dan het totaal aantal mogelijkheden en dus kun je daarmee de gevraagde kans berekenen.

Jacko1996 schreef:A1-A2-Z
A1-Z-A2
A2-A1-Z...

Je zegt het eigenlijk zelf al

Jacko schreef:dit probleem waarbij ik objecten zie als hebbend een eigen identiteit

De afbeeldingen "A1" en "A2" Zijn eigenlijk dezelfde. Je kan ze niet onderscheiden. Ze zijn allebei dezelfde afbeelding A.
Eigenlijk zou je dus schrijven:
er zijn 6 verschillende mogelijkheden:
A-A-Z
A-Z-A
A-A-Z
A-Z-A
Z-A-A
Z-A-A

Nu tel je elke volgorde dubbel. Die dubbelingen deel je weg door te delen door 2. Het aantal volgordes is dus 6/2.

Beiden bedankt voor jullie bijdrage. Het klinkt allicht wat triviaal en ik maak de vragen over het algemeen wel goed omdat ik intuïtief heb opgemerkt wanneer ik wel of geen permutaties moet gebruiken; toch probeer ik een en ander te verhelderen zodat ik het ook werkelijk begrijp.
Ik heb wat jullie zeiden overdacht en klopt het wanneer ik zeg dat mijn denkfout er in zit dat wanneer ik bijvoorbeeld A1-A2-B en A1-B-A2 als twee verschillende combinaties beschouw; dit niet klopt omdat het slechts verschillende volgordes zijn van dezelfde set afbeeldingen.
Met andere woorden: in dit vraagstuk gaat het er om welke verschillende combinaties je kunt hebben van 3 kaarten met minimaal 2 keer A en de volgorde doet er niet toe omdat het enkel gaat om het eindproduct: het hebben van minimaal 2 keer A en één andere kaart. De mogelijke volgordes zouden er pas toe doen wanneer we de context van de vraag veranderen tot het punt dat bijvoorbeeld de volgorde van het krijgen van de afbeelding er toe doet.

Nog korter zou ik kunnen zeggen dat ik het verschil niet begreep tussen en

Klopt wat ik hierboven zeg enigzins?

Ja, klopt. Goed bezig

Bedankt voor de bevestiging en de hulp; ik begrijp het nu.