Wiskundeforum

Wiskunde B VWO examen 2001 -Tijdvak 1 (bezem), opdracht 2 vraag 5 (snijpunt met de x-as)

Opdracht: http://www.sslleiden.nl/alleexamens/all ... Wiskunde+B

Mocht je zelf het antwoord willen vinden kijk dan nog niet naar het antwoord dat in het eind van dit bericht in geel staat aangegeven.

Dit antwoord wordt volgens het correctievoorschrift onttrokken door de (2/3)sin(x)^2 om te zetten naar een (2/3) - (2/3)cos(x)^2.
Ik snap in eerste instantie niet hoe de x-waarde zo geconstateerd wordt en zelf had ik een andere methode bedacht: Exact op de x-as ligt een buigpunt.
Je zou dus ook op zoek kunnen gaan naar [[f(x)]]"= 0 lijkt me zo. Dit komt echter überhaupt niet uit (dit zou ook andere oplossingen kunnen geven) voor de correcte x-waarde. Misschien is mijn tweede afgeleide onjuist en dus niet gelijk aan:
(4/3)cos(x)^2 - cos(x) - (4/3)sin(x)^2 ??? Ook [[f(x)]]"=f(x) komt niet uit. Kan iemand mij dit uitleggen?? Ik zie vast iets eenvoudigs over het hoofd ...

Selecteer om zichtbaar te maken:
x = (2/3)π

Ik heb de opdracht niet kunnen vinden ... , kan je f(x) aangeven?

Het gaat dus om de vergelijking cos x+⅔·sin²x = 0. Omdat je hier zowel een sinus als een cosinus hebt is in eerste instantie niet goed te zien hoe deze vergelijking zou kunnen worden opgelost. Door gebruik te maken van het feit dat sin²x = 1-cos²x kun je de gegeven vergelijking omzetten in een kwadratische vergelijking in cos x, waaruit je cos x en dus ook x kunt oplossen. Wat wordt die kwadratische vergelijking en wat is dan de volgende stap?

In mijn vraag is al aangegeven dat ik inzie dat (2/3)sin(x)^2 = (2/3) - (2/3)cos(x)^2. Logischerwijs zie ik dus in dat
cos(x) + (2/3)sin(x)^2 = cos(x) + (2/3) - (2/3)cos(x)^2 . Nu vraag ik dus hoe verder... Daarnaast begrijp ik ook niet dat x = (2/3)pi niet uitkomt voor [[f(x)]]" = 0 ondanks dat er een buigpunt ligt op de x - as en het gegeven antwoord X = (2/3)pi correct is volgens het correctieschrift.

De opdracht die je aangeeft heeft als titel: oppervlaktebenadering. Klopt dat?

Nee, hier is ie uitgetypt:

Met domein [0,pi] is voor elke a is een element van R een functie fa gegeven door:

fa(x) = cos(x) + a sin(x)^2

Bereken de x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f2/3 met de x-as. (a = 2/3)

Inmiddels zie ik in dat:

cos(x) + (2/3)sin(x)^2 = cos(x) + 2/3 - (2/3)cos(x)^2 ;
cos(x)^2 - (3/2)cos(x) - 1 = cos(x)^2 + (1/2)cos(x) - 2cos(x) - 1 =
cos(x)(cos(x) + 1/2) - 2(cos(x) + 1/2) = (cos(x) + 1/2)(cos(x) - 2) = 0 ;
cos(x) = -1/2 ; x = 2/3pi of cos(x) = 2, hetgeen niet gaat

Maar ik snap bij god niet waarom de tweede afgeleid op x = 2/3pi niet gelijk is aan 0...

stijn.boshoven schreef:Nee, hier is ie uitgetypt:

Met domein [0,pi] is voor elke a is een element van R een functie fa gegeven door:

fa(x) = cos(x) + a sin(x)^2

Bereken de x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f2/3 met de x-as. (a = 2/3)

Inmiddels zie ik in dat:

cos(x) + (2/3)sin(x)^2 = cos(x) + 2/3 - (2/3)cos(x)^2 ;
cos(x)^2 - (3/2)cos(x) - 1 = cos(x)^2 + (1/2)cos(x) - 2cos(x) - 1 =
cos(x)(cos(x) + 1/2) - 2(cos(x) + 1/2) = (cos(x) + 1/2)(cos(x) - 2) = 0 ;
cos(x) = -1/2 ; x = 2/3pi of cos(x) = 2, hetgeen niet gaat

Je uitwerking is goed.

stijn.boshoven schreef:Maar ik snap bij god niet waarom de tweede afgeleid op x = 2/3pi niet gelijk is aan 0...

Welke vraag hoort hierbij?

En welke opgave is het nu?

Dit hoort bij dezelfde vraag, in mijn eerste bericht leg ik uit dat deze methode (het gelijkstellen van de tweede afgeleid aan 0) ook zou moeten werken voor het vinden van het snijpunt met de x-as. Ik ben niet geïnteresseerd in opgaven afronden. Ik wil wiskunde leren. Als ik niet begrijp waarom een methode, die volgens mijn logica waterdicht is, niet uitpakt, laat ik dit onbeantwoorde vraagstuk niet achter mij bij het verzinnen van een nieuwe.

Wat is je tweede afgeleide?

Lukken de vragen 6 en 7 ook?

Ik vraag niks over 6 en 7 ik vraag naar vraag 5 en ik heb allang die tweede afgeleide gegeven in het eerste bericht...
Dit forum is nutteloos wanneer men niet de moeite neemt de vraag goed te lezen, zich er niet in verdiept en vervolgens irrelevante vragen gaat stellen. Ik ben hier om mezelf tijd te besparen, het kost me echter dagen om uit te leggen wat mijn vraag op zich al is.

stijn.boshoven schreef: Misschien is mijn tweede afgeleide onjuist en dus niet gelijk aan:
(4/3)cos(x)^2 - cos(x) - (4/3)sin(x)^2 ??? Ook [[f(x)]]"=f(x) komt niet uit. Kan iemand mij dit uitleggen?? Ik zie vast iets

Eenvoudiger is:

Wat krijg je als je x=2/3pi invult?

stijn.boshoven schreef:in mijn eerste bericht leg ik uit dat deze methode (het gelijkstellen van de tweede afgeleide aan 0) ook zou moeten werken voor het vinden van het snijpunt met de x-as.

Weet je absoluut zeker dat er een buigpunt op de x-as ligt? Heb je dit voor algemene a gecontroleerd? Het zou kunnen dat de tekening bij opdracht 2 de suggestie wekt dat de grafiek een buigpunt op de x-as heeft, maar dat bij nadere algebraïsche controle blijkt dat dat helemaal niet het geval is. SafeX heeft voor algemene a de uitdrukking voor de tweede afgeleide gegeven. De vraag is dus of dit voor a = ⅔ een buigpunt oplevert met x = ⅔π. Als dat niet zo is vermoed ik dat je je door de grafiek hebt laten misleiden en daardoor ten onrechte hebt verondersteld dat het gezochte snijpunt tevens een buigpunt is.

stijn.boshoven schreef:Ik ben niet geïnteresseerd in opgaven afronden. Ik wil wiskunde leren.

Dat is een nobel streven dat ik als autodidactisch wiskundige graag wens aan te moedigen. Weet je ook al of je na het vwo verrder wilt in de wiskunde, en zo ja, in welke richting?

stijn.boshoven schreef:Dit forum is nutteloos wanneer men niet de moeite neemt de vraag goed te lezen, zich er niet in verdiept en vervolgens irrelevante vragen gaat stellen.

Ik heb je vraag gelezen, maar ik ga er van uit dat je je door de getekende grafiek op het verkeerde been hebt laten zetten, en dat je daardoor dus niet uitkomt op wat je verwachtte te vinden.

wauw ik heb me inderdaad flink laten misleiden door die grafiek. bedankt voor de verklaring! ik ga later niet specifiek in de richting van wiskunde, ik wil werken in de genetica. wiskunde is natuurlijk altijd van belang dus ik wil er absoluut goed in worden. het is zelfs goed voor je algehele denkvermogen. ik probeer intrinsiek motivatie te vinden door wiskundige verrijking na te streven ipv het willen verkrijgen van een opzichzelfstaand nutteloos vwo-diploma.

stijn.boshoven schreef:wauw ik heb me inderdaad flink laten misleiden door die grafiek. bedankt voor de verklaring!

Graag gedaan.

stijn.boshoven schreef:ik ga later niet specifiek in de richting van wiskunde, ik wil werken in de genetica.

Ik wou zelf na de middelbare school wel verder in de wiskunde, in eerste instantie als leraar en toen dat niet bleek te lukken heb ik geprobeerd om de opleiding wiskunde aan de TU Eindhoven te volgen. Ook dat is niet gelukt, maar desondanks houd ik me nog steeds met veel plezier met wiskunde bezig.

stijn.boshoven schreef:wiskunde is natuurlijk altijd van belang dus ik wil er absoluut goed in worden. het is zelfs goed voor je algehele denkvermogen.

Dat is op zich al een goede reden om je er nader in te verdiepen.

stijn.boshoven schreef:ik probeer intrinsiek motivatie te vinden door wiskundige verrijking na te streven ipv het willen verkrijgen van een opzichzelfstaand nutteloos vwo-diploma.

Een diploma is alleen maar nutteloos als je de volgens dat diploma behaalde kennis niet toe kunt passen. Laten we hopen dat dat bij jou wel het geval mag zijn.