Koorde

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.

Koorde

Berichtdoor Steinbach » 18 Feb 2018, 01:28

Toon de volgende eigenschap aan.

https://imgur.com/a/aXz1p

Wanneer je een hoek alpha inschrijft in een cirkel
met diameter 1 , dan bepaalt deze op die cirkel
een koorde met lengte sin(alpha).

Zie bovenstaande figuur.

Als alpha 0 graden is dan is de sin ( alpha ) = koorde ook nul.
Als alpha 90 graden is dan is sin ( alpha ) = 1 en gaat de koorde door het middelpunt en = 1.
Maar ik heb geen idee hoe ik die stelling kan bewijzen in zijn algemeenheid ?
Steinbach
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 93
Geregistreerd: 22 Okt 2017, 22:52

Re: Koorde

Berichtdoor arno » 18 Feb 2018, 12:53

Steinbach schreef:Toon de volgende eigenschap aan.

https://imgur.com/a/aXz1p

Wanneer je een hoek alpha inschrijft in een cirkel
met diameter 1 , dan bepaalt deze op die cirkel
een koorde met lengte sin(alpha).

Nee, dat klopt niet. Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen. Nu geldt dat BC = 2d·sin ½·α, wat je kunt zien door uit A de hoogtelijn op BC te trekken.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
arno
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1789
Geregistreerd: 25 Dec 2008, 16:28
Woonplaats: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Koorde

Berichtdoor Steinbach » 18 Feb 2018, 20:43

Beste Arno de oorspronkelijke te bewijzen stelling klopt toch wel volgens mij.
Uw vorige post denk ik dat niet juist is.

Ik heb mijn oorspronkelijke tekening wat uitgebreid om zodoende het gevraagde te
bewijzen. Zie onderstaande link.

https://imgur.com/a/0oopJ

De driehoeken MSC en MSB zijn congruent. ( ZZR)
Middelpuntshoek op dezelfde BC koorde is 2 alpha.
Hoogtelijn uit Middelpunt ( M ) verdeeld deze hoek in 2.

in driehoek MSC : sin(alpha ) = SC/R
in driehoek MSB : sin(alpha) = SB/R
CB = SC + SB
CB = R.sin(alpha) + R.sin(alpha)
CB = 2R.sin(alpha)

Uit het gegeven 2R = Diameter(D) = 1

CB = sin(alpha)
dus sin(alpha) = CB
Steinbach
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 93
Geregistreerd: 22 Okt 2017, 22:52

Re: Koorde

Berichtdoor arie » 18 Feb 2018, 23:23

arno schreef:... Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen...

AB en AC zijn NIET gelijk aan de diameter d.

@Steinbach:
Je bewijs klopt en is mooi.

PS:
Je gebruikt: "Middelpuntshoek op dezelfde BC koorde is 2 alpha."
Dit is waarschijnlijk een stelling die je gehad hebt (in je les of boek).
Zo niet, dan zou je dat formeel ook nog moeten bewijzen.
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3033
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Koorde

Berichtdoor Steinbach » 18 Feb 2018, 23:36

Dag arie ,

Bedankt voor de verificatie.
Steinbach
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 93
Geregistreerd: 22 Okt 2017, 22:52

Re: Koorde

Berichtdoor arno » 19 Feb 2018, 19:05

arie schreef:
arno schreef:... Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen...

AB en AC zijn NIET gelijk aan de diameter d.

Je hebt gelijk. Ik zie dat ik me inderdaad heb vergist.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
arno
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1789
Geregistreerd: 25 Dec 2008, 16:28
Woonplaats: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Koorde

Berichtdoor SafeX » 22 Feb 2018, 21:46

Ben je bekend met de sin-regel in een driehoek? Zo ja, dan is het bewijs één regel
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14208
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Koorde

Berichtdoor Steinbach » 23 Feb 2018, 15:47

Met sinus-regel

sin(alpha)/SB = sin 90°/R
sin ( alpha) = SB/R
sin(alpha) = CB/2R

2R = D = 1

sin(alpha) = CB
Steinbach
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 93
Geregistreerd: 22 Okt 2017, 22:52

Re: Koorde

Berichtdoor SafeX » 23 Feb 2018, 19:39

Mooi!

Wel eerst: drh ABC is een drh met gegeven omgeschreven cirkel R=1.
Dus geldt: ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14208
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Koorde

Berichtdoor Steinbach » 25 Feb 2018, 00:05

Dank je SafeX voor de verificatie.
Steinbach
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 93
Geregistreerd: 22 Okt 2017, 22:52


Terug naar Voortgezet onderwijs bovenbouw / 2de en 3de graad ASO

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 12 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 12 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 12 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 12 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.