Pagina 1 van 1

Koorde

Geplaatst: 18 feb 2018, 01:28
door Steinbach
Toon de volgende eigenschap aan.

https://imgur.com/a/aXz1p

Wanneer je een hoek alpha inschrijft in een cirkel
met diameter 1 , dan bepaalt deze op die cirkel
een koorde met lengte sin(alpha).

Zie bovenstaande figuur.

Als alpha 0 graden is dan is de sin ( alpha ) = koorde ook nul.
Als alpha 90 graden is dan is sin ( alpha ) = 1 en gaat de koorde door het middelpunt en = 1.
Maar ik heb geen idee hoe ik die stelling kan bewijzen in zijn algemeenheid ?

Re: Koorde

Geplaatst: 18 feb 2018, 12:53
door arno
Steinbach schreef:Toon de volgende eigenschap aan.

https://imgur.com/a/aXz1p

Wanneer je een hoek alpha inschrijft in een cirkel
met diameter 1 , dan bepaalt deze op die cirkel
een koorde met lengte sin(alpha).
Nee, dat klopt niet. Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen. Nu geldt dat BC = 2d·sin ½·α, wat je kunt zien door uit A de hoogtelijn op BC te trekken.

Re: Koorde

Geplaatst: 18 feb 2018, 20:43
door Steinbach
Beste Arno de oorspronkelijke te bewijzen stelling klopt toch wel volgens mij.
Uw vorige post denk ik dat niet juist is.

Ik heb mijn oorspronkelijke tekening wat uitgebreid om zodoende het gevraagde te
bewijzen. Zie onderstaande link.

https://imgur.com/a/0oopJ

De driehoeken MSC en MSB zijn congruent. ( ZZR)
Middelpuntshoek op dezelfde BC koorde is 2 alpha.
Hoogtelijn uit Middelpunt ( M ) verdeeld deze hoek in 2.

in driehoek MSC : sin(alpha ) = SC/R
in driehoek MSB : sin(alpha) = SB/R
CB = SC + SB
CB = R.sin(alpha) + R.sin(alpha)
CB = 2R.sin(alpha)

Uit het gegeven 2R = Diameter(D) = 1

CB = sin(alpha)
dus sin(alpha) = CB

Re: Koorde

Geplaatst: 18 feb 2018, 23:23
door arie
arno schreef:... Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen...
AB en AC zijn NIET gelijk aan de diameter d.

@Steinbach:
Je bewijs klopt en is mooi.

PS:
Je gebruikt: "Middelpuntshoek op dezelfde BC koorde is 2 alpha."
Dit is waarschijnlijk een stelling die je gehad hebt (in je les of boek).
Zo niet, dan zou je dat formeel ook nog moeten bewijzen.

Re: Koorde

Geplaatst: 18 feb 2018, 23:36
door Steinbach
Dag arie ,

Bedankt voor de verificatie.

Re: Koorde

Geplaatst: 19 feb 2018, 19:05
door arno
arie schreef:
arno schreef:... Stel d is de diameter van de cirkel met koorde BC en A op de cirkel, dan is ΔBCA gelijkbenig met basis BC en AB = d en AC = d als benen...
AB en AC zijn NIET gelijk aan de diameter d.
Je hebt gelijk. Ik zie dat ik me inderdaad heb vergist.

Re: Koorde

Geplaatst: 22 feb 2018, 21:46
door SafeX
Ben je bekend met de sin-regel in een driehoek? Zo ja, dan is het bewijs één regel

Re: Koorde

Geplaatst: 23 feb 2018, 15:47
door Steinbach
Met sinus-regel

sin(alpha)/SB = sin 90°/R
sin ( alpha) = SB/R
sin(alpha) = CB/2R

2R = D = 1

sin(alpha) = CB

Re: Koorde

Geplaatst: 23 feb 2018, 19:39
door SafeX
Mooi!

Wel eerst: drh ABC is een drh met gegeven omgeschreven cirkel R=1.
Dus geldt: ...

Re: Koorde

Geplaatst: 25 feb 2018, 00:05
door Steinbach
Dank je SafeX voor de verificatie.