Wiskundeforum

Hallo iedereen!

Voor een opdracht voor school moeten wij een stelling bewijzen.
https://ibb.co/6gt25hN
Zoals jullie kunnen zien is dit een onderdeel van de Wiskunde B-dag 2015 Aan de Gang, nl. opgave 1
http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ ... ht2015.pdf
Mijn groepsgenoten en ik zitten al lang vast aan deze opdracht aangezien we geen ervaring hebben met het opstellen van bewijzen. In de opgave staat dat het niet echt nodig is op dit te bewijzen maar het is wel vereist voor onze school.
Indien iemand ons verder op weg kan helpen zouden wij dit erg appreciëren!

Alvast bedankt!

Er zijn meerdere bewijzen mogelijk, hier een goniometrisch bewijs:

Neem P het midden van AB,
Q het midden van BC,
en d de lengte van de zijden van vierkant BQMP.

Toon aan dat voor de lengte van AC geldt: \(|AC| = d \cdot 2 \sqrt{2}\)

Definieer vervolgens \(\angle CMF = \gamma\), waarbij we weten: \(0^\circ < \gamma < 45^\circ\)
Dan is ook \(\angle EMA = \gamma\) (waarom?)

Verder geldt:

\(\cos(\angle EMP) = \cos(45^\circ + \gamma) = \frac{d}{|EM|}\)

\(\cos(\angle FMQ) = \cos(45^\circ - \gamma) = \frac{d}{|MF|}\)

Dus

\(|EF| = |EM| + |MF| = \frac{d}{\cos(45^\circ + \gamma)} + \frac{d}{\cos(45^\circ - \gamma)}\)

\(= d \cdot \left[ \frac{1}{\cos(45^\circ + \gamma)} + \frac{1}{\cos(45^\circ - \gamma)} \right] \)

\(= d \cdot \frac{\cos(45^\circ - \gamma)\;+\;\cos(45^\circ + \gamma)}{\cos(45^\circ - \gamma) \cdot \cos(45^\circ + \gamma)}\)

Nu moet je alleen nog aantonen dat deze laatste breuk groter is dan \(2\sqrt{2}\) voor alle geldige waarden van \(\gamma\),
want dan is \(|EF| > |AC|\)


Kom je zo verder?


Hint:
gebruik voor de teller:
\(\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) -\sin(\alpha) \sin(\beta)\)
en
\(\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) +\sin(\alpha) \sin(\beta)\)
en voor de noemer:
\(\cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha + \beta))\)

Tranlateer (verschuif) de zijde evenwijdig aan zichzelf naar C

WanhopigKind schreef: ... volgens onze berekeningen komen we:
|EF| > |AC| ↔ d*2√2*cos γ/cos 2γ > d*2√2
Klopt dit ook volgens uw berekeningen?

Klopt,
en als \(0^\circ < \gamma < 45^\circ\)
dan is
\(0 < \cos(2\gamma)< \cos(\gamma) < 1\)
(bewijs dit zelf nog)
zodat
\(\frac{\cos(\gamma)}{\cos(2\gamma)}> 1\)
en dus ook
\(d\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{\cos(\gamma)}{\cos(2\gamma)}> d \cdot 2\sqrt{2}\)


PS: kijk ook eens of het lukt via de voorzet van SafeX.

PPS: jullie mogen alle info verwerken en gebruiken