Jules De Rop schreef:
Ervan uitgaande dat elk bedrag deelbaar door 5 mogelijk is om te maken heb ik 6105 door 5 gedeeld.
Klopt (en goed gezien!): als elk biljet deelbaar is door 5, dan is ook de som van een willekeurig aantal biljetten deelbaar door 5.
Jules De Rop schreef:
Toch vind ik het wat toevallig en ik zou graag willen weten of dit wel een juiste bewerking is?
In dit geval klopt het omdat ook alle vijfvouden (= bedragen) kleiner dan 6105 met deze biljetten te betalen zijn:
1 x 5 = 5
2 x 5 = 10
... enz. ...
9 x 5 = 45
en dan komen we bij de veelvouden van 50 (dwz biljetten van 50):
1 x 50 + 0 x 5 = 50
1 x 50 + 1 x 5 = 55
1 x 50 + 2 x 5 = 60
...
1 x 50 + 9 x 5 = 95
2 x 50 + 0 x 5 = 100
2 x 50 + 1 x 5 = 105
2 x 50 + 2 x 5 = 110
...
2 x 50 + 9 x 5 = 145
...
9 x 50 + 0 x 5 = 450
9 x 50 + 1 x 5 = 455
9 x 50 + 2 x 5 = 460
...
9 x 50 + 9 x 5 = 495
en nu komen we bij de veelvouden van 500 (dwz biljetten van 500):
1 x 500 + 0 x 50 + 0 x 5 = 500
1 x 500 + 0 x 50 + 1 x 5 = 505
1 x 500 + 0 x 50 + 2 x 5 = 510
...
1 x 500 + 0 x 50 + 9 x 5 = 545
1 x 500 + 1 x 50 + 0 x 5 = 550
1 x 500 + 1 x 50 + 1 x 5 = 555
1 x 500 + 1 x 50 + 2 x 5 = 560
...
1 x 500 + 1 x 50 + 9 x 5 = 595
...
enz.
Als de biljetten van 500 alle 11 op zijn, dan gaan we door met die van 50 en 5 totdat die ook allemaal gebruikt zijn.
Dat levert tenslotte als laatste een totaal bedrag van 11 x 500 + 11 x 50 + 11 x 5 = 6105.
Andere situatie:
Stel we hebben 3 biljetten van 5, 1 biljet van 50 en 2 biljetten van 500.
Dan hebben we als mogelijke eindbedragen uitsluitend:
1 x 5 = 5
2 x 5 = 10
3 x 5 = 15
1 x 50 + 0 x 5 = 50
1 x 50 + 1 x 5 = 55
1 x 50 + 2 x 5 = 60
1 x 50 + 3 x 5 = 65
1 x 500 + 0 x 50 + 0 x 5 = 500
1 x 500 + 0 x 50 + 1 x 5 = 505
1 x 500 + 0 x 50 + 2 x 5 = 510
1 x 500 + 0 x 50 + 3 x 5 = 515
1 x 500 + 1 x 50 + 0 x 5 = 550
1 x 500 + 1 x 50 + 1 x 5 = 555
1 x 500 + 1 x 50 + 2 x 5 = 560
1 x 500 + 1 x 50 + 3 x 5 = 565
2 x 500 + 0 x 50 + 0 x 5 = 1000
2 x 500 + 0 x 50 + 1 x 5 = 1005
2 x 500 + 0 x 50 + 2 x 5 = 1010
2 x 500 + 0 x 50 + 3 x 5 = 1015
2 x 500 + 1 x 50 + 0 x 5 = 1050
2 x 500 + 1 x 50 + 1 x 5 = 1055
2 x 500 + 1 x 50 + 2 x 5 = 1060
2 x 500 + 1 x 50 + 3 x 5 = 1065
Het maximum bedrag is nu 1065, maar we kunnen slechts 23 bedragen (allemaal 5-vouden) gepast betalen.
Dit is dus duidelijk minder dan 1065 / 5 = 213.
In dit geval kan je wel redeneren:
- we hebben 4 mogelijkheden om de biljetten van 5 te gebruiken (0 t/m 3 stuks)
- we hebben 2 mogelijkheden om de biljetten van 50 te gebruiken (0 of 1)
- we hebben 3 mogelijkheden om de biljetten van 500 te gebruiken (0 t/m 2 stuks)
In totaal dus 4 x 2 x 3 = 24 bedragen.
Alleen zal in de supermarkt geen product van 0 sjekel (= 0 x 5 + 0 x 50 + 0 x 500) verkocht worden, dus trekken we daar 1 van af: 24 - 1 = 23
Merk op: dit gaat hier nu alleen op omdat elke keuze van biljetten tot een ander (= uniek) bedrag leidt.
Dit in tegenstelling tot je oorspronkelijke probleem: daar kunnen verschillende keuzes van biljetten tot hetzelfde eindbedrag leiden, bijvoorbeeld: 1 x 50 + 1 x 5 = 55, maar ook 0 x 50 + 11 x 5 = 55.
En daarom was daar het aantal verschillende eindbedragen slechts 1221 (dus minder dan 12 x 12 x 12 - 1 = 1727).