Vereenvoudigen wortel van een breuk

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
robinvde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 11
Lid geworden op: 25 jul 2019, 13:11

Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door robinvde » 25 jul 2019, 13:15

Hallo,

Ik had een vraagje ivm met het vereenvoudigen van een wortel van een breuk.
Wanneer beide wortels, vierkantswortels waren dacht ik gewoon de wortel in de noemer te vermenigvuldigen met de teller en noemer, maar dat gaat hier waarschijnlijk niet op.

De oefening is, de 4de wortel van 12 / de wortel van 20.

Iemand een idee?
Alvast bedankt !

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door arie » 25 jul 2019, 16:22

Het kan op jouw manier:

\(\frac{\sqrt[4]{12}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt[4]{12}\cdot \sqrt{20}}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{20}}=\frac{\sqrt[4]{12}\cdot \sqrt{20}}{20}=\frac{1}{20}\cdot \sqrt[4]{12}\cdot \sqrt{20}\)

Om de wortels te kunnen samentrekken moeten ze dezelfde macht hebben.
Kan je \(\sqrt{20}\) eerst herschrijven als 4-de machts wortel?
Dus

\(\sqrt{20} = \sqrt[4]{???}\)

En kan je daarmee het product nog vereenvoudigen?

robinvde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 11
Lid geworden op: 25 jul 2019, 13:11

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door robinvde » 25 jul 2019, 16:35

Bedankt,

Oke top het eerste deel begrijp ik maar niet het omvormen van de vierkantswortel van 20 naar een vierdegraadswortel.
Is dat dan geen heel groot kommagetal?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door arno » 25 jul 2019, 17:02

Stel . Links en rechts alles tot de vierde macht verheffen levert dan: . Merk op dat algemeen geldt dat .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

robinvde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 11
Lid geworden op: 25 jul 2019, 13:11

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door robinvde » 25 jul 2019, 17:32

Oke dan heb ik,

1/20 * vierdemachtswortel van (12*400=4 800).
Wat is de beste manier om te kijken of je dit nu kan vereenvoudigen?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door arie » 25 jul 2019, 17:42

Je kan het getal ontbinden in (priem-)factoren.
Omdat we hier al een product hebben:
4800 = 12 * 20 * 20
is het eenvoudiger (=minder rekenwerk) om deze factoren eerst individueel te ontbinden:
\(12\cdot 20 \cdot 20 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 5) = 2^6 \cdot 3 \cdot 5^2\)

Zie je hierin een vierde macht die je buiten de vierdemachts wortel kan halen?

robinvde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 11
Lid geworden op: 25 jul 2019, 13:11

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door robinvde » 25 jul 2019, 17:53

Ik weet het niet, we hebben toch enkel een 2de en 6de macht?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door arie » 25 jul 2019, 18:01

Bedenk:
\(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\)

Voorbeeld:
\(27 = 3^3 = 3^{2+1} = 3^2 \cdot 3^1 = 9\cdot 3 \)


In ons geval zoeken we vierde machten die we af kunnen splitsen:
\(2^6 = 2^{4+2} = ...\)

robinvde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 11
Lid geworden op: 25 jul 2019, 13:11

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door robinvde » 25 jul 2019, 18:10

2^6 * 3 * 5^2

Dan kunnen we 2^4 afsplitsen en dan krijgen we 2^2 * 3 * 5^2 = 10^4 * 3 , correct?
Staan beide dan nu buiten de 4demachtswortel?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door arie » 25 jul 2019, 18:26

Nee, we hebben hier alleen gekeken naar die 4800, en vastgesteld dat we er een factor \(2^4\) van kunnen afsplitsen.
Ofwel, terug naar ons probleem:

\(\frac{\sqrt[4]{12}}{\sqrt{20}}=\frac{1}{20}\cdot \sqrt[4]{4800}=\frac{1}{20}\cdot \sqrt[4]{2^4 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2} \)

en nu kunnen we wat onder die vierdemachts wortel staat splitsen in een deel met zuivere 4e machten (bij ons alleen \(2^4\)), en een deel waar geen vierde machten meer in zitten:

\(\frac{1}{20}\cdot \sqrt[4]{2^4 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2} = \frac{1}{20}\cdot \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2} \)

Het deel met vierde machten kunnen we nu vereenvoudigen, het deel zonder vierde machten niet meer (dit laatste kunnen we laten staan of terug omzetten naar een getal, hier \(2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300\)).

Kan je dit nu verder vereenvoudigen,?
Ofwel: wat komt hier op de 3 puntjes te staan?:

\( = \frac{1}{20}\cdot \; \dots \; \cdot \sqrt[4]{300} \)

En wat wordt vervolgens het eindantwoord?

robinvde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 11
Lid geworden op: 25 jul 2019, 13:11

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door robinvde » 25 jul 2019, 18:35

Dus dan is het,

1/20 * 2 * 4demachtswortel van 300
= 1/10 * 4demachtswortel van 300 ?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door arie » 25 jul 2019, 18:51

Klopt.

(voor alle zekerheid kan je het ook nog controleren met je rekenmachine:
\(\frac{\sqrt[4]{12}}{\sqrt{20}}\approx 0.416179145...\)
en
\(\frac{1}{10}\sqrt[4]{300} \approx 0.416179145...\)
allebei hetzelfde, zoals verwacht)

robinvde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 11
Lid geworden op: 25 jul 2019, 13:11

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door robinvde » 25 jul 2019, 19:01

Oke bedankt, en mocht de oefening nu zijn:

4*vierkantswortel (12) / vierkantswortel (20)

= 4* vierkantswortel (12*20=240) / 20
= 1/20 * 4 * vierkantswortel (240)

= maar dan zit ik opnieuw vast..

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door arno » 25 jul 2019, 19:23

Merk om te beginnen op dat √12 = 2√3 en √20 = 2√5, dus , dus
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

robinvde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 11
Lid geworden op: 25 jul 2019, 13:11

Re: Vereenvoudigen wortel van een breuk

Bericht door robinvde » 25 jul 2019, 19:52

Sorry ik volg even niet,

Dus de 4* vierkantswortel (12) = vierkantswortel (3)
en vierkantswortel (20) = vierkantswortel (5) ?

Plaats reactie