Wiskundeforum

Ik heb voor een onderzoek van wiskunde een impleciete definitie van rb gemaakt, maar mijn vraag is of dit wiskundig kan omgevormt worden naar een expleciete definitie. De andere letters zijn allemaal veranderlijken.

rb = floor((n-(N-S))/26) + floor((rb-(O-T))/26)

Stel je hebt de vergelijking (floor aangegeven door de haken \(\lfloor \; \rfloor\)):

\(x = 2 + \lfloor \frac{x-2}{3} \rfloor\)

dan weet je dat x een geheel getal moet zijn (het rechter lid bestaat uitsluitend uit geheeltallige termen).

Deze vergelijking kan je herschrijven als:

\(2 - x + \lfloor \frac{x-2}{3} \rfloor = 0\)

Je weet

\(\lfloor \frac{x-2}{3} \rfloor \le \frac{x-2}{3}\)

en

\(\lfloor \frac{x-2}{3}\rfloor +1 > \frac{x-2}{3}\)


[1] Uit de eerste ongelijkheid volgt (tel links en rechts 2 - x op):

\(2 - x +\lfloor \frac{x-2}{3} \rfloor \le 2 - x + \frac{x-2}{3}\)

ofwel (omdat het linker lid nul moet zijn):

\(0 \le 2 - x + \frac{x-2}{3}\)
\(0 \le 6 - 3x + x - 2\)
\(0 \le 4 - 2x\)
\(2x \le 4 \)
\(x \le 2 \)


[2] Uit de tweede ongelijkheid volgt (trek links en rechts 1 af):

\(\lfloor \frac{x-2}{3}\rfloor > \frac{x-2}{3} - 1\)

tel ook nu weer links en rechts 2 - x op:

\(2 - x +\lfloor \frac{x-2}{3} \rfloor > 2 - x + \frac{x-2}{3} - 1\)

ofwel (omdat het linker lid nul moet zijn):

\(0 > 2 - x + \frac{x-2}{3} - 1\)
\(0 > 1 - x + \frac{x-2}{3}\)
\(0 > 3 - 3x + x-2\)
\(0 > 1 - 2x\)
\(2x > 1\)
\(x > \frac{1}{2}\)


Uit [1] en [2] volgt:

\(\frac{1}{2} < x \le 2\)

en omdat x geheel moet zijn weet je x = 1 of x = 2, ofwel: \(x \in \{ 1, 2 \}\)


Kom je nu ook verder met jouw vergelijking?

Ok wat je hebt opgeschreven helpt wel, maar ik vraag mij af waarom het linkerlid gelijk is aan nul als je 2-x daarbij optelt.

Stel dat je x=5 dan bekom je het volgende (ik gebruik floor omdat dat gemakkelijker typt dan die haakjes)

2-5+floor((5-2)/3)=-3+floor(3/3)=-3+1=-2

dan is dat gelijk aan -2 en niet aan 0

Voor de getallen dat je uitkomt klopt dit echter wel.

We gebruikten hier als voorbeeld de vergelijking

\(x = 2 + \lfloor \frac{x-2}{3} \rfloor\)

Elke oplossing x die hieraan voldoet, moet ook voldoen aan (trek links en rechts x af):

\(0 = 2 - x + \lfloor \frac{x-2}{3} \rfloor\)

Dus als voor een oplossing x moet gelden:

\(2 - x +\lfloor \frac{x-2}{3} \rfloor \le 2 - x + \frac{x-2}{3}\)

dan moet voor die zelfde oplossing x ook gelden:

\(0 \le 2 - x + \frac{x-2}{3}\)


Noot: je kan de oplossingen die we vonden (x=1 of x=2) ook controleren door ze in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking:

\(x = 2 + \lfloor \frac{x-2}{3} \rfloor\)

Heel erg bedankt

Ik denk dat ik het nu wel zal vinden.