Bovengrens integraal

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
BT-7274
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 03 jul 2018, 13:52

Bovengrens integraal

Bericht door BT-7274 » 19 feb 2020, 16:38

Hallo,

Voor mijn profielwerkstuk wil ik het verband tussen de Riemann zèta functie en de priemtelfunctie uitleggen. Van de afleiding van een vergelijking snap ik alleen het volgende niet:

Waarom geldt:

Het enige wat hier dus verandert is het argument van de priemtelfunctie.

Ik snap dat gelijk is voor alle , maar voor heeft soms toch wel een andere waarde (namelijk als priem is)?

In een youtube video die ik had gevonden, wordt gezegd dat er niet gekeken wordt naar de grenzen van de integraal. Kan iemand mij misschien uitleggen waarom dit zo is?
Heel erg bedankt alvast! 😊


Edit:
Het kan natuurlijk ook dat die youtube video niet klopt. Zelf verwacht ik eigenlijk van niet, aangezien ik de conclusie van de video, de vergelijking , ook in een paper ergens tegen ben gekomen, waar ik nu helaas de URL niet meer van heb.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Bovengrens integraal

Bericht door David » 20 feb 2020, 02:43

De dikte bij dat stukje van de integraal is 0, niet?
met ?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3540
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bovengrens integraal

Bericht door arie » 20 feb 2020, 10:00

De integraal

\(\displaystyle \int_a^b f(x) \; dx\)

is gedefinieerd voor functies f continu op het interval [a, b].
(zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Integraal ... alrekening)

De integraal

\(\displaystyle \int_{n}^{n+1}{{s\cdot\pi(x)}\over{x(x^s-1)}}dx\)

is niet gedefinieerd als n+1 priem is, omdat \(\pi(x)\) dan niet continu is op het interval [n, n+1].

Maar omdat \(\pi(x) = \pi(n) = \text{constant}\) voor \(n \le x < n+1\)
en de integraal van (n+1) tot (n+1) gelijk is aan nul (zie David hierboven)
valt die stap te verantwoorden.

BT-7274
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 03 jul 2018, 13:52

Re: Bovengrens integraal

Bericht door BT-7274 » 21 feb 2020, 11:45

arie schreef:
20 feb 2020, 10:00
De integraal

\(\displaystyle \int_{n}^{n+1}{{s\cdot\pi(x)}\over{x(x^s-1)}}dx\)

is niet gedefinieerd als n+1 priem is, omdat \(\pi(x)\) dan niet continu is op het interval [n, n+1].
Oh wauw, bedankt! Op school had ik nog niet geleerd dat je niet kan integreren waar de functie niet continu is, dus had hier niet aan gedacht. Maar dat is wel logisch eigenlijk, bedankt. :D
David schreef:
20 feb 2020, 02:43
De dikte bij dat stukje van de integraal is 0, niet?
met ?
Sorry, maar ik snap eigenlijk niet helemaal wat u hier bedoelt...
Waarschijnlijk heb ik het mis hoor, maar die vergelijking klopt toch altijd, voor elke functie \(\displaystyle f(x)\)?
Want \(\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)dx=[F(x)]^a_a=F(a)-F(a)=0\)
Alvast bedankt voor uw reactie!

Plaats reactie