Wiskundeforum

Toon aan dat de functie f(x) = |x²-1| niet afleidbaar is in 1 ? ( x²-1 staat tussen absolute waarde tekens ).
Ik heb de linkerafgeleide en rechterafgeleide van f in 1 berekend -> zie link.
Ik kom uit dat deze f(x) niet afleidbaar is in 1. Is dit juist ?
Met mijn graf. rekenmachine ( Ti84+ ) kom ik een ( dy/dx) uit van 0,001 uit voor x=1
ondanks in 1 er geen afgeleide zou bestaan ?

https://imgur.com/a/KYPm6Ik

Je rekenmachine bepaalt de afgeleide numeriek via deze formule:
\(f '(x) = \frac{f(x+\epsilon)-f(x-\epsilon)}{2\epsilon} \)
met standaardwaarde \(\epsilon = 0.001\)

In dit geval levert deze formule:

\(f '(1) = \frac{f(1+\epsilon)-f(1-\epsilon)}{2\epsilon}\)

\( = \frac{|2\epsilon + \epsilon^2|-|-2\epsilon+\epsilon^2|}{2\epsilon} \)

\( = \frac{(2\epsilon + \epsilon^2)-(2\epsilon-\epsilon^2)}{2\epsilon} = \frac{2\epsilon^2}{2\epsilon}=\epsilon = 0.001\)

Maar dit is hier dus een FOUT getal.


Zie ook
https://mathbits.com/MathBits/TISection ... vative.htm
de kleine lettertjes onder het gele tekstblok van "Method 1"
Daar staat ook hoe je de waarde van epsilon kan veranderen (4e parameter van nDeriv()), maar dat lost dit probleem niet op.


Als je met je rekenmachine iets naast x=1 gaat zitten (iets meer dan \(\epsilon\)), bijvoorbeeld x=0.99 en x=1.01, dan krijg je als het goed is een betere benadering van de getallen die jij (correct) analytisch gevonden hebt.

Hartelijk dank arie voor je heldere uitleg !