Parameterkromme

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
Steinbach
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 150
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Parameterkromme

Bericht door Steinbach » 26 mei 2020, 22:17

Beschouw de parameterkromme \(k\leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=3\cos t\\
y=4\sin 2t
\end{matrix}\right.\)
met \(t\in \left [ 0,2\Pi\right ]\)

1) Bepaal de coördinaten van de punten op deze kromme met horizontale raaklijn ?

\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0\)

\(\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t}}=\frac{8\cos 2t}{-3\sin t}=0\)

\(8\cos 2t=0\)

\(cos 2t=0\)

\(t= \frac{ \Pi}{4} \)

\(\left (\frac{3\sqrt{2}}{2} ,4 \right )\)

\(t=\frac{3\Pi}{4}\)

\(\left ( \frac{-3\sqrt{2}}{2} , -4\right )\)

Ik vind slechts 2 coördinaten ! Echter zie ik met mijn graf. rekenmachine dat er 4 coördinaten van de parameterkromme
liggen op de 2 horizontale raaklijnen. Hoe kan ik deze analytisch vinden ?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Parameterkromme

Bericht door arie » 27 mei 2020, 08:17

Steinbach schreef: \(\cos 2t=0\)
\(t= \frac{ \Pi}{4} \)
In deze stap gaat het mis:

\(\cos 2t=0\)

\(2t = \frac{1}{2}\pi+ k\pi\;\;\) waarin \(k \in \mathbb{Z}\)

\(t = \frac{1}{4}\pi+ \frac{1}{2}k\pi\;\;\)

Voor welke waarden van k is \(t \in [0, 2\pi]\) ?

Steinbach
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 150
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: Parameterkromme

Bericht door Steinbach » 27 mei 2020, 12:38

\(k=0 \; \; \; \; t=\frac{\Pi}{4} \; \; \; \;\left ( \frac{3\sqrt{2}}{2} ,4\right )\)

\(k=1 \; \; \; \; t=\frac{3\Pi}{4} \; \; \; \;\left ( \frac{-3\sqrt{2}}{2} ,-4\right )\)

\(k=2 \; \; \; \; t=\frac{5\Pi}{4} \; \; \; \;\left ( \frac{-3\sqrt{2}}{2} ,4\right )\)

\(k=3 \; \; \; \; t=\frac{7\Pi}{4} \; \; \; \;\left ( \frac{3\sqrt{2}}{2} ,-4\right )\)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Parameterkromme

Bericht door arie » 27 mei 2020, 13:52

OK.
Hier nog de volledige uitwerking om de geldige waarden van k te bepalen:

\(t = \frac{1}{4}\pi+ \frac{1}{2}k\pi\;\;\)

dus als

\(0 \le t \le 2\pi\)

dan moet

\(0 \le \frac{1}{4}\pi+ \frac{1}{2}k\pi \le 2\pi\)

deel vervolgens links, midden en rechts door \(\pi\) (pi is groter dan nul, dus de tekens klappen niet om):

\(0 \le \frac{1}{4}+ \frac{1}{2}k \le 2\)

trek overal 1/4 van af:

\(- \frac{1}{4} \le \frac{1}{2}k \le 1\frac{3}{4}\)

vermenigvuldig met 2:

\(- \frac{1}{2} \le k \le 3\frac{1}{2}\)

k is geheeltallig, dus

\(k \in \{ 0, 1, 2, 3 \}\)

Steinbach
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 150
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: Parameterkromme

Bericht door Steinbach » 27 mei 2020, 15:46

OK arie , alles is duidelijk nu. Bedankt voor je hulp !

Plaats reactie