integraal

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
Steinbach
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 150
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

integraal

Bericht door Steinbach » 24 jul 2020, 00:51

Ik bereken een integraal op 2 verschillende manieren en kom verschillende uitkomsten uit.
Wat is de verklaring hiervoor ?

\(\int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}-5}}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{d(\sqrt{2}x)}{\sqrt{(\sqrt{2}x)^2-5}}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | \sqrt{2}x\, +\, \sqrt{2x^2-5} \right |\, +C\)

Deze bovenstaande uitkomst heb ik berekend met een formule uit het boek.
Onderstaand probeer ik zelf deze integraal te berekenen.

\(\int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}-5}}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\)

\(x^2 - \frac{5}{2}> 0\)

\(x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}= t\)

\(1\, +\, \frac{2x}{2\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, =\, \frac{dt}{dx}\)

\(\frac{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}\, +\, x}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{dx}\)

\(\frac{t}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{dx}\)

\(\frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{t}\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \,\int \frac{dt}{t}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \,\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dt}{t}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dt}{t}\, =\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | t \right |\, +\, C\)

\(=\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}\, \right |\, +\, C\)

Met bovenstaande kom ik dus een ander resultaat uit.
Waar doe ik iets fout ?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: integraal

Bericht door arie » 25 jul 2020, 08:02

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \sqrt{2}x\, +\, \sqrt{2x^2-5} \right|\, +C\)

\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \sqrt{2}x\, +\, \sqrt{2}\cdot \sqrt{x^2-\frac{5}{2}} \right|\, +C\)

\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| \sqrt{2}\cdot \left( x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}} \right) \right|\, +C\)

gebruik vervolgens:
\(\ln(a\cdot b) = \ln(a) + \ln(b)\)

Zie je nu wat er aan de hand is?

Steinbach
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 150
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: integraal

Bericht door Steinbach » 25 jul 2020, 15:04

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | \sqrt{2}(x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}})\right |\, +\, C\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \ln \left | \sqrt{2} \right | +\ln \left | x\, \, +\, \sqrt{x^2 - \frac{5}{2}} \right |\right )\, +\, C\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left | x\, +\, \sqrt{x^2\, -\,\frac{5}{2} } \right |\, +\, C\, +\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | \sqrt{2} \right |\)

De constante is verschillend ?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: integraal

Bericht door arie » 25 jul 2020, 16:06

De integratieconstante \(C\) is een vrije, onbepaalde constante \(C \in \mathbb{R}\).
\(C\) kan elk reeel getal zijn.
Maar dan maakt het niet uit of we \(C\) vrij mogen kiezen, of dat we \(C' = C+\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2})\) vrij mogen kiezen.
Dus in plaats van \(C+\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2})\) (met \(C \in \mathbb{R}\)) mogen we ook schrijven \(C'\) (met \(C' \in \mathbb{R}\)), en dan kunnen we net zo goed dat accent weglaten.

Met andere woorden: de constante \(\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2})\) gaat volledig op in de onbepaalde constante \(C\) en kunnen we zonder gevolgen voor het antwoord weglaten.

Je twee antwoorden zijn dus beide correct.

Steinbach
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 150
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: integraal

Bericht door Steinbach » 25 jul 2020, 18:24

Hartelijk dank arie voor je hulp.
Het is me nu zeer duidelijk.

Steinbach
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 150
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: integraal

Bericht door Steinbach » 25 jul 2020, 20:48

arie schreef
Beide oplossingen zijn correct
arie nu ik erover nadenk.
De 2 verschillende primitieve F(x) die ik uitkwam verschillen slechts
in hun integratieconstante. Wat dus grafisch wil zeggen dat ze gewoon
verticaal verschoven zijn in een XY-grafiek.

De helling blijft bewaard bij 2 primitieve functies die slechts verticaal verschoven zijn
zodat de inverse functie ( F'(x) ) voor beide verschillende primitieve functies hetzelfde is.

Ook als we van beide F(x) de inverse bewerking doen F'(x) met enkel een verschillende
integratieconstante ( C en C' ) krijgen we dezelfde inverse functie omdat F'(C) = F'(C')= 0.

Plaats reactie