rijen

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
Steinbach
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 150
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

rijen

Bericht door Steinbach » 04 aug 2020, 23:12

Is de volgende rij convergent of divergent ? Bepaal zo mogelijk de limiet.

\(u_{n}=2\, +\, (-\frac{2}{3})^{n}\)

Het tweede deel van deze rij wisselt telkens van teken en ik weet niet hoe ik
die limiet moet bepalen van dit alternerende deel ?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: rijen

Bericht door arie » 05 aug 2020, 10:18

Je kan de definitie gebruiken maar ook de insluitstelling,
zie bijvoorbeeld https://nl.wikipedia.org/wiki/Convergen ... itstelling

Dit laatste werkt vaak eenvoudiger:
Kan je 2 rijen \(a_n\) en \(b_n\) bedenken,
zodanig dat voor alle n geldt:
\(a_n \le u_n \le b_n\)
en zodanig dat
\(a_n\) en \(b_n\) dezelfde limiet L hebben?
Wat is dan dus de limiet van jouw rij \(u_n\) ?

Steinbach
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 150
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: rijen

Bericht door Steinbach » 05 aug 2020, 14:43

Aangezien \(-\left | u_{n} \right |\, \leq u_{n} \leq \left | u_{n} \right |\) volgt uit de insluitingsstelling :

Als \(\lim_{n \to +\infty} \left | u_{_{n}} \right |\, =\, 0\) dan is \(\lim_{n \to +\infty} u_{_{n}} \, =\, 0\)

\(\lim_{n \to +\infty} (2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n})=\lim_{n \to +\infty} 2\, +\, \lim_{n \to +\infty}\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\)

\(\lim_{n \to +\infty}\left | (-\frac{2}{3})^{n} \right |=0 \,\) bijgevolg \(\,\lim_{n \to +\infty}\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}=0 \)

\(\lim_{n \to +\infty} (2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n})\, =\, 2+0=2\)

Dus de rij is convergent en heeft als limiet 2.

Ik probeerde eerst 2 rijen te vinden waarvan 1 boven en 1 onder bovenstaande rij lag met dezelfde limiet.
Maar mijn graf. rekenmachine kon de functie \(\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\) niet weergeven waarschijnlijk
vermoed ik omdat de opeenvolgende coördinaten heen en weer tussen + en - sprongen. Een tabel kon ik wel aflezen.
Wanneer ik de functie \(\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\) probeerde weer te gaven als grafiek lukte dit wel en kon ik mooi zien dat deze naar 0 naderde voor \(n \to +\infty\)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: rijen

Bericht door arie » 05 aug 2020, 23:20

Steinbach schreef:
05 aug 2020, 14:43
Aangezien \(-\left | u_{n} \right |\, \leq u_{n} \leq \left | u_{n} \right |\) volgt uit de insluitingsstelling :

Als \(\lim_{n \to +\infty} \left | u_{_{n}} \right |\, =\, 0\) dan is \(\lim_{n \to +\infty} u_{_{n}} \, =\, 0\)

\(\lim_{n \to +\infty} (2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n})=\lim_{n \to +\infty} 2\, +\, \lim_{n \to +\infty}\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\)

\(\lim_{n \to +\infty}\left | (-\frac{2}{3})^{n} \right |=0 \,\) bijgevolg \(\,\lim_{n \to +\infty}\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}=0 \)

\(\lim_{n \to +\infty} (2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n})\, =\, 2+0=2\)

Dus de rij is convergent en heeft als limiet 2.
Als de limiet van \(u_n = 2\) is, dan is de limiet van \(|u_n| = 2\) en van \(-|u_n| = -2\).
Dus met je eerste keuze van \(a_n\) en \(b_n\), dat was
\(-\left | u_{n} \right |\, \leq u_{n} \leq \left | u_{n} \right |\)
komen we niet verder omdat \(-2 \neq 2\).

Je lost dit op door te schrijven:
\(\underset{n\to \infty}{\lim} \left(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\right) = 2 + \underset{n\to \infty}{\lim} \left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\)
maar dan moeten we die laatste limiet nog insluiten.

Steinbach schreef: Ik probeerde eerst 2 rijen te vinden waarvan 1 boven en 1 onder bovenstaande rij lag met dezelfde limiet.
Maar mijn graf. rekenmachine kon de functie \(\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\) niet weergeven waarschijnlijk
vermoed ik omdat de opeenvolgende coördinaten heen en weer tussen + en - sprongen. Een tabel kon ik wel aflezen.
Wanneer ik de functie \(\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\) probeerde weer te gaven als grafiek lukte dit wel en kon ik mooi zien dat deze naar 0 naderde voor \(n \to +\infty\)
Je grafische rekenmachine zal n als reeel getal ziet (\(n \in \mathbb{R}\)), en komt dan in problemen bijvoorbeeld bij n = 1/2, omdat \(\left(-\frac{2}{3} \right)^{1/2}\) complex is.

Maar dat heen en weer springen is wel de weg naar de oplossing:

\(\underset{n\to \infty}{\lim} \left(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\right) =\underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 + (-1)^n \cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right)\)

Dus voor oneven n geldt (want dan is \((-1)^n = -1\)):

\(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n} = 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)

en voor even n geldt (want in dit geval is \((-1)^n = 1\)):

\(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n} = 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)

Hierdoor geldt voor alle n:

\( 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n} \le u_n \le 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)

waardoor

\( \underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right) \le \underset{n\to \infty}{\lim} u_n \le \underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right)\)

en de buitenste 2 limieten kan je gebruiken als \(a_n\) resp \(b_n\) in de insluitstelling.
Kijk of die 2 limieten gelijk zijn, en zo ja, dan heb je tevens de limiet voor n naar oneindig van \(u_n\) gevonden.


PS:
ik heb je x<>n typo's gecorrigeerd.

Steinbach
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 150
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: rijen

Bericht door Steinbach » 06 aug 2020, 18:20

arie schreef:
05 aug 2020, 23:20

Als de limiet van \(u_n = 2\) is, dan is de limiet van \(|u_n| = 2\) en van \(-|u_n| = -2\).
Dus met je eerste keuze van \(a_n\) en \(b_n\), dat was
\(-\left | u_{n} \right |\, \leq u_{n} \leq \left | u_{n} \right |\)
komen we niet verder omdat \(-2 \neq 2\).

Je lost dit op door te schrijven:
\(\underset{n\to \infty}{\lim} \left(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\right) = 2 + \underset{n\to \infty}{\lim} \left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\)
maar dan moeten we die laatste limiet nog insluiten.
Stel \(w_{n}\, =\, (-\frac{2}{3})^{n}\)

\((-\frac{2}{3})^{n}\, =\, (-1)^{n}\, .\, (\frac{2}{3})^{n}\)

n oneven

\(-(\frac{2}{3})^{n}\)

n even

\((\frac{2}{3})^{n}\)

Voor alle n

\(-(\frac{2}{3})^{n}\, \leq \, w_{n}\, \leq \, (\frac{2}{3})^{n}\)

\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(-(\frac{2}{3})^{n})\, \leq \, \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}w_{n}\, \leq \, \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(\frac{2}{3})^{n} \)

\(0 \leq \, \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}w_{n}\, \leq \, 0\)

Daaruit volgt : \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}w_{n}\, = \, 0\)

\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}u_{n}\, = 2 + \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}w_{n} = 2 + 0 = 2\)
arie schreef:
05 aug 2020, 23:20
Maar dat heen en weer springen is wel de weg naar de oplossing:

\(\underset{n\to \infty}{\lim} \left(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\right) =\underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 + (-1)^n \cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right)\)

Dus voor oneven n geldt (want dan is \((-1)^n = -1\)):

\(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n} = 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)

en voor even n geldt (want in dit geval is \((-1)^n = 1\)):

\(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n} = 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)

Hierdoor geldt voor alle n:

\( 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n} \le u_n \le 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)

waardoor

\( \underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right) \le \underset{n\to \infty}{\lim} u_n \le \underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right)\)

en de buitenste 2 limieten kan je gebruiken als \(a_n\) resp \(b_n\) in de insluitstelling.
Kijk of die 2 limieten gelijk zijn, en zo ja, dan heb je tevens de limiet voor n naar oneindig van \(u_n\) gevonden.
Analoog met de bewerking die ik hierboven heb uitgewerkt met jouw hulp.
In het handboek stond er eigenlijk niets bruikbaar hoe de insluitingsstelling eigenlijk echt in elkaar zit.
Dank voor je hulp arie.

Plaats reactie