Expliciet voorschrift rij v. Fibonacci algebraïsch oplossen met volledige inductie

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
Fibonacci
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 10 nov 2020, 12:56

Expliciet voorschrift rij v. Fibonacci algebraïsch oplossen met volledige inductie

Bericht door Fibonacci » 10 nov 2020, 13:11

Hallo

Ik wil graag het expliciete voorschrift van de rij van Fibonacci, f(x)=((1+〖√5)〗^x-(1-〖√5)〗^x)/(2^x •√5), bewijzen met behulp van volledige inductie. Nu heb ik op deze website een manier gevonden met matrices ( viewtopic.php?f=24&t=4617&hilit=fibonacci+expliciet ), maar ik zou het graag indien mogelijk algebraïsch oplossen.
Kan iemand mij hierbij helpen?
Alvast bedankt!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3571
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Expliciet voorschrift rij v. Fibonacci algebraïsch oplossen met volledige inductie

Bericht door arie » 11 nov 2020, 12:13

Te bewijzen via volledige inductie:
\(f(n)=\frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}}\)

Basis:
\(f(0)=\frac{(1+\sqrt{5})^0-(1-\sqrt{5})^0}{2^0\sqrt{5}}=\frac{1-1}{\sqrt{5}}=0\)
\(f(1)=\frac{(1+\sqrt{5})^1-(1-\sqrt{5})^1}{2^1\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=1\)
Dus de formule geldt voor n=0 en n=1.
Deze stap heb je waarschijnlijk zelf ook al gevonden.

Inductie:
We moeten nu aantonen:
"als de formule geldt voor (n-1) en (n-2), dan geldt deze ook voor n"
Volgens de definitie van de rij van Fibonacci is
\(f(n) = f(n-1) + f(n-2)\)

Volgens de inductiehypothese geldt dan:
\(f(n)=\frac{(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}}{2^{n-1}\sqrt{5}} + \frac{(1+\sqrt{5})^{n-2}-(1-\sqrt{5})^{n-2}}{2^{n-2}\sqrt{5}}\)

We willen de breuken optellen, maak beide noemers gelijk:
\(f(n)=\frac{2\cdot[(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}]}{2\cdot 2^{n-1}\sqrt{5}} + \frac{4\cdot [(1+\sqrt{5})^{n-2}-(1-\sqrt{5})^{n-2}]}{4\cdot 2^{n-2}\sqrt{5}}\)

\(=\frac{2\cdot[(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}]}{2^n\sqrt{5}} + \frac{4\cdot [(1+\sqrt{5})^{n-2}-(1-\sqrt{5})^{n-2}]}{2^n\sqrt{5}}\)

\(=\frac{2\cdot[(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}]+4\cdot [(1+\sqrt{5})^{n-2}-(1-\sqrt{5})^{n-2}]}{2^n\sqrt{5}}\)

Nu moeten we aantonen dat deze breuk gelijk is aan

\(\frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}}\)

De noemers zijn al gelijk, dus we moeten alleen nog aantonen dat ook de tellers gelijk zijn:

\(2\cdot [(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}]+4\cdot [(1+\sqrt{5})^{n-2}-(1-\sqrt{5})^{n-2}] = (1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n\)

Lukt je dit?

Plaats reactie