Afgeleide en nulpunten/extreme waarden

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
Ladybird
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 09 feb 2019, 09:04

Afgeleide en nulpunten/extreme waarden

Bericht door Ladybird » 08 dec 2020, 22:31

Hallo!

Ik zit vast met de volgende opgave. Ik moet de afgeleide berekenen van een functie en wil van de afgeleide de nulpunten berekenen. Wie wil meekijken waar ik een fout maak, want ik pak het vast verkeerd aan..

f(x)=25x²(x-1)³
f’(x)=50(x-1)³+25x²·3(x-1)²·1 =>
f’(x)=50x(x-1)³+75x²(x-1)²

Als eerste, klopt deze afgeleide wel..? Ik heb de ketting- en productregel toegepast.
Zo ja:
Nulpunten berekenen van f’(x) om de extreme waarden te bepalen:

50x(x-1)³+75x²(x-1)²=0
50x(x-1)(x-1)²+75x²(x²-2x+2)=0
50x(x-1)(x²-2x+2)+75-150x³+150x²=0
50x(x³-2x+2x-x²+2x-2)+ 75-150x³+150x²=0
50-100X³+100x²-50x³+100x²-100x=0
50-150X³+200x²-100x+75-150x³+150x²=0
125-300x³+350x²-100x=0

En nu weet ik het niet meer. Ik kan wel weer proberen te ontbinden in factoren maar heb net alles juist uitgerekend..

Ik heb het ook als volgt geprobeerd maar dit klopt ook niet want als ik de grafiek plot, komt er (0,0) en (1,0) uit..

50x(x-1)³+75X²(x-1)²=0
50x(x-1)³=-75X²(x-1)²
Allebei de kanten delen door (x-1)²
50x(x-1)=-75x²
-= (x-1)
= x-1
2(x-1)=-3x
2(x-1)+3x=0
2x-2+3x=0
5x=2
X=2,5

Ik snap bij beide berekeningen niet waar het fout gaat..

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Afgeleide en nulpunten/extreme waarden

Bericht door arie » 09 dec 2020, 13:07

Ladybird schreef: f(x)=25x²(x-1)³
f ’ (x)=50x(x-1)³+25x²·3(x-1)²·1 =>
f ’ (x)=50x(x-1)³+75x²(x-1)²
Je afgeleide klopt (typo: de blauwe x in de 2e regel is weggevallen, maar in de 3e regel stond die er weer correct).

Ladybird schreef: Nulpunten berekenen van f’(x) om de extreme waarden te bepalen:
50x(x-1)³+75x²(x-1)²=0
..
En nu weet ik het niet meer. Ik kan wel weer proberen te ontbinden in factoren maar heb net alles juist uitgerekend..
Dit ging inderdaad de verkeerde kant op: om nulpunten te vinden wil je juist ontbinden in factoren (en niet de producten die je al had uitwerken tot een veelterm).
Immers: als een product van factoren nul is, dan kan je elk van die factoren gelijk aan nul stellen om de oplossing(en) te vinden.

Je 2e manier gaat wel de goede kant op:
Ladybird schreef: Ik heb het ook als volgt geprobeerd maar dit klopt ook niet want als ik de grafiek plot, komt er (0,0) en (1,0) uit..

50x(x-1)³+75X²(x-1)²=0
50x(x-1)³=-75X²(x-1)²
Allebei de kanten delen door (x-1)²
alleen moet je (x-1)² niet wegdelen (want (x-1)² zou ook nul kunnen zijn, en je mag niet door nul delen),
maar moet je (x-1)² buiten haakjes halen:

\(50x(x-1)^3+75x^2(x-1)^2=0\)
\(\Leftrightarrow \)
\((x-1)^2 \cdot \left(50x(x-1)+75x^2\right)=0\)

Kan je bij de 2e factor hierboven nog meer factoren buiten haakjes halen?

Kom je zo verder?


TIP:
Alternatief: je mag de formule f ' (x) = 0 ook eerst door 25 delen, dan worden de constanten wat kleiner, en dat maakt je uitwerking vaak wat overzichtelijker:

\(50x(x-1)^3+75x^2(x-1)^2=0\)
\(\Leftrightarrow \) (deel het linker en rechter lid door 25 (rechter lid: 0/25 blijft natuurlijk 0):)
\(2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2=0\)
\(\Leftrightarrow \)
\((x-1)^2 \cdot \left(2x(x-1)+3x^2\right)=0\)

Je mag dus ook met deze vergelijking verder werken.

Ladybird
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 09 feb 2019, 09:04

Re: Afgeleide en nulpunten/extreme waarden

Bericht door Ladybird » 09 dec 2020, 15:13

Enorm bedankt, ben er zeer mee geholpen :))

Plaats reactie