Kan iemand me aub helpen?
Hoeveel gehele positieve oplossingen hebben de volgende vergelijkingen?
a) x+y+z = 15
=> 136 is de uitkomst
b) X+Y+Z+V+W = 10
uitwerking:
algemeen:
In de volgorde van de combinaties is het getal dat links voor het andere staat nooit groter dan het getal dat er rechts van staat. 2,1,2 telt niet direct als combinatie, daar reken ik later mee, zoals onder uitgelegd. 2,1,2 wordt geschreven als 1,2,2.
drie dezelfde getallen zijn op 1 manier te ordenen. Vb. 1,1,1.
drie getallen waarvan 2 overeenkomen en 1 dus niet, zijn op
drie verschillende getallen zijn op 3!=6 manieren te ordenen. vb: 1,2,3.
a)
stel dat x=1. Dan y+z=14
orden de verschillende mogelijkheden om 14 te vinden door 2 getallen op te tellen.
1+13,...,7+7.
stop als bij de volgende combinatie het linkergetal hoger wordt dan het rechter getal.
Voor x=1: 7 combinaties.
Merk op dat 1,1,13 op 3 verschillende manieren te schrijven is, net als 1,7,7. De andere combinaties zijn op 6 manieren te schrijven. Dat zijn 7-2=5 combinaties. 5*6+2*3=36.
stel dat x=2. Dan y+z=13
orden de verschillende mogelijkheden om 13 te vinden door 2 getallen op te tellen. Je begint bij 2, want als je bij 1 begint staat er 2+1+12, en die zouden we anders ordenen.
2+11,...6+7. Alle combinaties zijn verschillend. Hier vind je 5 combinaties die allemaal op 6 manieren geschreven kunnen worden; telkens 3 verschillende getallen. 5*6=30. 30 manieren met x=2
Hetzelfde voor x=3:
2*6+2*3=18 mogelijkheden
Voor 4: 3*1+6*1=9
en voor 5: 5,5,5 =1 mogelijkheid.
Zo vind ik 36+30+18+9+1=94 mogelijkheden om 15 met drie verschillende positieve gehele getallen uit te rekenen. Je suggereerde dat het er 136 waren. Daarvoor moet je x=0 meetellen:
0,1,14,...,0,7,8, dat zijn 7 combinaties, met telkens 3 verschillende cijfers. 7*6=42. 94+42=136.
Met wat puzzelen kan je generaliseren over de zelfde vraag maar dan voor een andere uitkomst voor x+y+z