convergerende rijen

cyberjul3 · Bericht door **cyberjul3** » 11 mei 2006, 16:04

dag iedereen.

ik heb een klein eindwerkje te maken over rijen. maar ik weet niet hoe ik een stelling moet bewijzen. de stelling luidt als volgt:
wanneer een rij naar boven begrensd is en de rij stijgend is dan is de rij convergerend.

maar hoe moet ik dat bewijzen, waarmee moet ik beginnen?
hopelijk kan er mij hulp verleend worden.

Bericht door TD » 11 mei 2006, 16:06

Begin eens met het uitschrijven van de definities, daarmee zal je het immers moeten aantonen. Wanneer is een rij convergent? Stijgend? Naar boven begrend? Kan je uit de laatste twee gegevens het eerste aantonen?

cyberjul3 · Bericht door **cyberjul3** » 11 mei 2006, 16:17

ok,
wel,

indien de limiet naar oneindig van de algemene term van de rij bestaat en eindig is, zegt men dat de rij convergeert.

een rij is stijgend wanneer een term kleiner is of gelijk aan de de volgende term.

een rij is begrensd wanneer er een getal (bv M) groter is dan alle termen van de rij.

ik zie niet goed hoe ik uit deze definities het bewijs kan halen.[/img]

Bericht door TD » 11 mei 2006, 16:25

Iets zorgvuldiger bij dat stijgen: elke term is groter dan (of gelijk aan) de voorgaande term. Als de rij begrensd is, dan is er een M zodanig dat u(n) < M, voor alle n. Hier is u(n) de n-de term uit de rij u.
Stijgend betekent dus dat voor alle n: u(n) >= u(n-1).

Convergent wil zeggen dat lim(n->oneindig) u(n) = L met L een reëel getal.

cyberjul3 · Bericht door **cyberjul3** » 11 mei 2006, 16:26

dat heb ik toch allemaal geschreven

Bericht door TD » 11 mei 2006, 16:27

Nee, dat van stijgen klopte niet helemaal. Wat jij schreef moet gelden voor elke term, niet 'een term'.

cyberjul3 · Bericht door **cyberjul3** » 11 mei 2006, 16:28

ok ik heb alle definities wel goed door maar zie niet in hoe ik kan bewijzen dat een stijgende en naar boven begrensde rij, convergent is

Bericht door TD » 11 mei 2006, 16:35

Weet je wat een 'kleinste bovengrens' (of supremum) is?

cyberjul3 · Bericht door **cyberjul3** » 11 mei 2006, 17:14

jaja, das de kleinste bovengrens of majorant

cyberjul3 · Bericht door **cyberjul3** » 11 mei 2006, 17:16

of kleinste majorant

Bericht door TD » 11 mei 2006, 18:23

Ok, nu kan je gebruiken dat de elementen uit de rij willekeurig dicht bij die kleinste bovengrens zullen komen.

cyberjul3 · Bericht door **cyberjul3** » 13 mei 2006, 12:31

voor mij is het probleem dat er wordt gezegd dat er een bovengrens is maar er is niet gezegd dat die bovengrens ook de supremum is dus is het niet vanzelfsprekend dat de rij dicht bij de bovengrens zal komen want alle getallen boven het supremum zijn ook majoranten en dus mag dat ook 1.000 zijn i.p.v. 100, maar dan komt de rij er niet dicht bij.

Bericht door TD » 13 mei 2006, 19:00

Elke begrensde (niet-lege) verzameling heeft een supremum, neem dus de kleinste bovengrens - die bestaat.