Jessegorter schreef:Hi,
ik probeer mijn wiskunde bij te schaven, met wisselend succes. Meestal kom ik er zelf uit maar soms heb ik advies nodig. Helaas zit ik nu niet meer op de middelbare school(nuja, helaas?..) en heb ik geen wiskundeles/leraar. Ik zit echter dus wel nog op het niveau van toen, dus post ik het in dit forum.
Die lessen zijn namelijk weer een aantal jaar geleden...dus mijn kennis needs updating
Ik heb een aantal vragen over meetkundige rijen. Ik heb de uitleg meermalen gelezen in mijn boek, en toegepast, meestal klopte het antwoord wel bij de volgende formule:
De somformule voor een eindigende rij wordt gevonden door:
Sn (a + ar + ar^2 etc + ar^n-1) te nemen en dan vervolgens de rij nogmaals met R, de reden te vermenigvuldigen, zodat je RSn krijgt.
Dan berekenen ze Sn door Sn - RSn te doen, waaruit ze de formule:
Sn = a(1-r^n) / 1-r trekken.
Ik pas het toe en het werkt, maar waarom ze de rij Sn nogmaals moeten vermenigvuldigen met de reden R om Sn te vinden, dat snap ik even niet. De 'logica' ontgaat me.
De tweede vraag die ik heb is dit:
er is ook een formule voor niet eindigende rijen: a/1-r
Die formule is goed toe te passen op opdrachten waaruit r en a blijken uit de reeks die ze je geven om op te lossen.
Het rare is dat ze bij de volgende opdracht de opdracht omdraaien:
nu krijg je enkel de som:
0.22222222 (eindeloos)
Vervolgens moet je de a/1-r formule gebruiken om 0.2222 om te zetten naar een niet vereenvoudigbare breuk.
ok, 0.222222 is 2/9 (gespiekt), maar hoe kun je nu a/1-r gebruiken om 0.22222 om te zetten naar een breuk?
of om 1.99999999 om te zetten?
1.99999 = a/1-r ...dan moet je toch weten wat R is en wat A? Hoe kun je die afleiden?
Laten we even kijken naar 0.22222
0.2 + 0.02 + 0.002 + 0.0002 + ... + 0.00000000000000000000000...2
)
Volgens mij klopt dit... moet haast wel...
Ok, nu is de beginwaarde
, en de rede is waarmee je een term vermenigvuldigt om bij de volgende te komen.
Laten we 0.0002 en 0.00002 nemen:
\frac{0.0002}{0.00002} = 0.1[/frac]
Invullende:
Snap je nu ongeveer waar het weg komt?
Nu 1.999999 kunnen we op 2 manieren benaderen:
1.999999999 = 1 + 0.999999999
1.999999999 = 1.8 + 0.18 + 0.018 (denk ik)
Laten we de eerste bekijken!
Vergeet even die 1, het gaat ons nu alleen om de 0.99999999
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + .... + 0.00000...9
a = .9, r = 0.1 (net als bij vorige, zelfde trukje)
Plus die 1, komen we op 2.
Volgende!
1.8 + 0.18 + 0.018 + ... + 0.000...18
a = 1.8, r = .1 (alweer)
Zelfde resultaat... Meestal kijk je alleen maar naar het gedeelte dat herhaalt, en niet de rest.
Nu lastiger...
0.1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428
Ik weet het antwoord al wel, maar laten we 's even kijken.
0.142857 + 0.000000142857 + 0.000000000000142857 + ...
Ok, laten we even kijken
Beginterm
a = 0.142857
r = n2 / n1 = 0.000001
Kunnen we dit delen door 27/27?
Ja, met als uitkomst:
Nu, laten we even verder kijken!
Laten we even kijken... wat dachten we van 13?
Hrm... Mijn intuitie zegt: De 7 * 4 = 28 en 7 * 7 is 49... dus misschien is 7 * 407 wel 2849... Even snel testen, en ja!
Snap je dit hele verhaal? Zou je het zelf ook kunnen voor
0.1538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538
Ik ben benieuwd naar je antwoord!
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
