Handmatig wortel trekken

WisJos · Bericht door **WisJos** » 05 jun 2010, 12:11

Kan iemand mij op een simpele manier vertellen hoe je handmatig/rekenkundig wortel kan trekken. Graag een goede uitleg zonder verwijzingen naar gevonden site's.

Tevens vroeg ik mij af waar de letters "sqrt" voor staan. Die zie ik veel gebruikt op het forum bij formules etc.

Gegroet,
Jos.

Bericht door **David** » 05 jun 2010, 14:06

Hallo Jos,

Wat is voor jou een goede, simpele uitleg? Dat is subjectief.
Ik zal eens proberen.

Stel dat je de wortel 8 wilt uitrekenen.
$u_n=\frac{u_{n-1}+\frac{x}{u_{n-1}}}{2}$ met $u_0=m$
Daarbij is m een schatting van de uitkomst. Je denkt dat het 2 is.
x is het getal waarvoor je de wortel uitrekent, hier 8.

het volgende getal zal $\frac{2+\frac{8}{2}}{2}=3$ zijn.
Probeer hiermee eens verder te werken.

Weet je zo een beetje wat je weten wilde?

Bericht door **op=op** » 05 jun 2010, 15:04

Het idee achter de formule van daco:

Stel je wilt de wortel van 8 berekenen.

Een vierkant met oppervlakte 8 heeft zijden van lengte "de wortel van 8".
Ik wil dat vierkant maken.
Ik weet in het begin alleen dat het een oppervlakte heeft van 8.
De zijden van dat vierkant zijn kleiner dan 3, want 3x3 is groter dan 8.

Kleiner dan 3 is bijvoorbeeld 2.
Ik maak nu een rechthoek met oppervlakte 8 en een zijde van lengte 2.
Dan is de breedte 4.

Het vierkant dat je zoekt heeft een lengte groter dan 2 en kleiner dan 4.
We proberen het gemiddelde en denken dat dat een betere schatting is dan 2 en 4 voor de lengte van het vierkant.
Gemiddelde is 3.
We maken opnieuw een rechthoek met oppervlakte 8 en lengte 3 (Het gemiddelde van 2 en 4).
Dan is de breedte 8/3 = 2,666666...

We hebben een rechthoek gekregen waarvan de lengte en breedte al bijna aan elkaar gelijk zijn.

De lengte van het vierkant is groter dan 2,666666..... en kleiner dan 3.

We proberen het gemiddelde van deze 2 getallen, dat is 2,833333333...
We maken opnieuw een rechthoek met oppervlakte 8 en lengte 2,833333333....
Dan is de breedte 8/2,833333333... = 2,8235294..

Lengte en breedte zijn nu bijna aan elkaar gelijk.
Je kunt zo doorgaan om een rechthoek te krijgen waarvan de zijden nog dichter bij wortel 8 liggen.

Bericht door **meneer van Hoesel** » 05 jun 2010, 15:14

WisJos schreef:Tevens vroeg ik mij af waar de letters "sqrt" voor staan. Die zie ik veel gebruikt op het forum bij formules etc.

Gegroet,
Jos.

SQRT is een afkorting van het engelse woord 'squareroot' - wat net zoveel betekend als 'vierkants wortel'.

Je komt in het engels ook nog wel 'cube-root' of 'cubic-root' tegen voor ∛, maar daar is geen gebruikelijke afkorting voor; in programmeer omgevingen of spreadsheets zul je daar echt POWER( x ; 1/3 ) voor moeten gebruiken of x^(1/3)

Bericht door **op=op** » 05 jun 2010, 15:57

Bericht door **David** » 05 jun 2010, 18:32

op=op schreef:Het idee achter de formule van daco:

Daar geef je een mooie uitleg, op=op!

Je kan ook formules gebruiken die sneller convergeren, zoals
$u_n=\frac{u^4_{n-1}+6u^2_{n-1}x+x^2}{4u^3_{n-1}+4u_{n-1}x}$

Je kan die vinden door in de oorspronkelijke formule niet $u_0=m$ te gebruiken, maar
$\frac{m+\frac{x}{m}}{2}$ .

Bericht door **op=op** » 05 jun 2010, 20:48

Die $u_{n-1}$ in de noemer is heel vervelend, vooral als die oneindig veel cijfers achter de komma heeft. Met de hand uitrekenen is dan eigenlijk niet te doen.
Dus hier een (voor $\sqrt{m}$ ), waarbij je alleen hoeft te delen door kleine getalletjes.
$u_{n+1} = \frac12u_n(3-\frac{u_n^2}{m})$

Bericht door **meneer van Hoesel** » 06 jun 2010, 00:24

Echt handmatig, in memoriam tot mijn vader, van wie ik zo veel meer interessante dingen heb geleerd

√ 5625

stap 1: een soort staartdeling maken en de cijfers per 2 bij elkaar zetten, van achteraf beginnend
$\begin{matrix}. \hphantom{0 \times 000} & \sqrt{} & 56 & 25 & \Rightarrow \end{matrix}$

stap 2: wat kun je invullen zodat je nog de uitkomst van de vermenigvuldiging kunt aftrekken?
$\begin{matrix}. \hphantom{0 \times 000} & \sqrt{} & 56 & 25 & \Rightarrow & ... \\ ... \times ...\hphantom{00} & = & ...\end{matrix}$
dat is7!
$\begin{matrix} . \hphantom{0 \times 000} & \sqrt{} & 56 & 25 & \Rightarrow & 7 \\ 7 \times 7\hphantom{00} & = & \underline{49} \\ & & \hphantom{0}7 \end{matrix}$
stap 3: de volgende twee cijfers overnemen en op de volgende regel het dubbele van het voorlopige antwoord opschrijven, en weer kijken wat je maximaal kunt invullen om toch nog te kunnen aftrekken
$\begin{matrix} . \hphantom{0 \times 000} & \sqrt{} & 56 & 25 & \Rightarrow & 7 \\ 7 \times 7\hphantom{00} & = & \underline{49} \\ & & \hphantom{0}7 & 25\\ ... \times \underline{14}... & = & ... & ... \end{matrix}$
Ah... dat is een 5!
$\begin{matrix} . \hphantom{0 \times 000} & \sqrt{} & 56 & 25 & \Rightarrow & 7 5 \\ 7 \times 7 \hphantom{00}& = & \underline{49} \\ & & \hphantom{0}7 & 25\\ 5 \times \underline{14}5 & = & \underline{\hphantom{0}7} & \underline{25} \\ & & & \hphantom{0}0 \end{matrix}$

√ 74.595,245

$\begin{matrix} \hphantom{54622 \times 2} & \sqrt{} & \hphantom{0}7 & 45 & 95 & , & 24 & 5\hphantom{0} & \Rightarrow & 273.12... \\ 2 \times 2 \underline{{}}\hphantom{00000} & = & \underline{\hphantom{0}4} \\ & & \hphantom{0}3 & 45\\ 7 \times \underline{4}7 \hphantom{0000} & = & \underline{\hphantom{0}3} & \underline{29} \\ & & & 16 & 95 \\ 3 \times \underline{54}3 \hphantom{000} & = & & \underline{16} & \underline{29} \\ & & & & 66 & & 24 \\ 1 \times \underline{546}1 \hphantom{00} & = & & & \underline{54} & & \underline{61} \\ & & & & 11 & & 63 & 50 \\ 2 \times \underline{5462}2 \hphantom{0} & = & & & \underline{10} & & \underline{92} & \underline{44} \\ & & & & & & 71 & 06 & 00 \\ ... \times \underline{54624}... & = & & & & & ... & ... & ... \end{matrix}$

en zo maar verder. Merk op dat het getal waar de wortel van genomen moet worden per twee cijfers gegroepeerd wordt rondom de komma en ook dat de ...,245 wordt aangevuld met een denkbeeldige nul. In de linker kolom staat telkens het voorlopige antwoord onderstreept er in

Wiskundeforum

Handmatig wortel trekken

Handmatig wortel trekken

Re: Handmatig wortel trekken

Re: Handmatig wortel trekken

Re: Handmatig wortel trekken

Re: Handmatig wortel trekken

Re: Handmatig wortel trekken

Re: Handmatig wortel trekken

Re: Handmatig wortel trekken