Differentieerbaarheid en een rij

[ItsGavril]

Hallo allemaal,
tijdens het maken van een aantal oefenopgaves, heb ik helaas moeten constateren dat ik niet overal uit kan komen. Ik zal maar meteen overgaan op waar het om gaat.

Mijn eerste vraag heeft betrekking tot hetvolgende
f(x) = 3x - x*wortel x, als x groter dan of gelijk is aan nul
f(x) = ax^3 + bx² +cx + d als x kleiner is dan nul

nu is de opgave om a, b, c en d te vinden, er vanuitgaande dat f continu en differentieerbaar is in x=0 en dat f de x as raakt in het punt (-3,0)

Dit heb ik voor mezelf omgezet naar hetvolgende:
De limiet x stijgt naar 0 van f(x) moet hetzelfde zijn als de limiet van x daalt naar 0 van f(x) en dit moet hetzelfde zijn als f(0), en f(0)=0. Ook moet gelden dat (f(x)-f(0))/(x-0) bestaat, oftewel dat f(x)/x bestaat.
Het laatste wat moet gelden is dat de afgeleide voor x=-3 gelijk is aan nul.

Hiermee ben ik tot hetvolgende gekomen:
Raakpunt: f'(x) = 3ax² + 2bx + c -> f'(3) = 27a -6b + c = 0
Continu: de limiet van x daalt naar 0 = 0, want f(x) is hier x-x^1,5. Dit klopt dus.
Nou moet ook gelden dat
ax^3 + bx² +cx + d naar nul gaat als x naar 0 gaat. Hieruit is af te leiden dat d = 0.

Hoe ik nu echter verder moet, weet ik helaas niet.

Mijn tweede vraag komt uit een eindexamen wis B 1, 2 namelijk uit die van het eerste tijdvak van 2007. De vraag is hier te vinden:
http://www.havovwo.nl/vwo/vwb/bestanden ... 7iopg5.pdf

Nou denk ik dat het mij best lukt om als ik eenmaal de formule heb het limiet van deze rij te vinden, het lukt mij simpelweg niet om de formule op te stellen.
Mijn probleem begon met het feit dat ik niet doorhad dat elke oneven driehoek (als de eerste van 3 cm driehoek 1 zou zijn) niet meetelt voor de lengte, omdat ze met hun lange zijde onder liggen. Dit weet ik nu echter wel, de eerste driehoek die meetelt is dus die van 2,7 cm in lengte.
De formule is naar mijn weten een meetkundige rij.
Ik kan zelf geen rij bedenken die dit probleem op kan lossen. Ik weet dat de begin waarde 2,7 is en dat de reden iets met 0,81 te maken moet hebben, omdat je steeds de oneven driehoeken wil overslaan. Als iemand mij hierbij verder op weg zou kunnen helpen zou ik erg dankbaar zijn.

Een andere kleine vraag waar ik ook moeite mee heb is:
Bereken de limiet voor x gaat naar nul voor ((vierdemachtswortel(16+x))+2)/x
Ik zou zeggen dat, als x bijna nul is, deze limiet naar 0 zou moeten gaan. Je krijgt in die situatie namelijk boven de breuk 2 - 2, en onder de bruik maakt het dan al niet meer uit omdat de teller gelijk is aan 0. Het antwoordenblad zegt echter dat het antwoord 1/32e is. Hoe kom ik hier op?

[SafeX]

Schrijf de limieten is op voor x -> 0+ en x->0-

[ItsGavril]

De limiet van de afgeleide van onder naar nul:
3ax² + 2bx + c, dus de limiet is c.
De limiet van de afgeleide van boven naar nul:
3 - 1,5 wortel x, dus de limiet is 3.
C = 3
27a -6b + 3 = 0
Eerlijk gezegd ben ik de volgende stap voor één vergelijking met twee onbekenden een beetje vergeten.. Substitutie?

[David]

Schrijf de limieten is op voor x -> 0+ en x->0-

Gebruik liever, bij die notatie voor de rechterlimiet:

Code: Selecteer alles

[tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)[/tex]

\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)

[ItsGavril]

Gebruik liever, bij die notatie voor de rechterlimiet:

Code: Selecteer alles

[tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)[/tex]

\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)

Het is niet mogelijk om de *pijl omhoog* en *pijl omlaag* notitie te gebruik in TeX? Of zeg ik nu iets wat niet klopt? Zo staat het namelijk in mijn schoolboeken.

[ItsGavril]

27a -6b + 3 = 0 met de afgeleide en het raakpunt
en omdat het een raakpunt is, is de gewone f(x) ook van toepassing
27a + 9b + 9 = 0

twee vergelijkingen, twee onbekenden.

vanuit de eerste formule:
27a = 6b - 3
in de tweede invullen
6b -3 + 9b + 9 = 0
15b = -6

Dit klopt helaas niet, waar ga ik de fout in?

[Sjoerd Job]

Het is niet mogelijk om de *pijl omhoog* en *pijl omlaag* notitie te gebruik in TeX? Of zeg ik nu iets wat niet klopt? Zo staat het namelijk in mijn schoolboeken.

Code: Selecteer alles

[tex]\lim_{x\uparrow 0} f'(x)[/tex]

Code: Selecteer alles

[tex]\lim_{x\downarrow 0} f'(x)[/tex]

Het is alleen zo dat enkele mensen een voorkeurs-notatie hebben. Beiden zijn goed te maken in TeX

[David]

Mij is het egaal.
(=linkerlimiet)

(=rechterlimiet)
Haal ze niet door elkaar, de linker- en rechterlimiet kunnen in waarde verschillen.
Ook jij mag je voorkeur hebben.

[ItsGavril]

Mij is het egaal.
(=linkerlimiet)

(=rechterlimiet)
Haal ze niet door elkaar, de linker- en rechterlimiet kunnen in waarde verschillen.
Ook jij mag je voorkeur hebben.

Ik zal het onthouden. Misschien door de vele posts wat achter geraakt, maar ik ben tot nu toe hier:

De limiet van de afgeleide van onder naar nul:
3ax² + 2bx + c, dus de limiet is c.
De limiet van de afgeleide van boven naar nul:
3 - 1,5 wortel x, dus de limiet is 3.
C = 3


27a -6b + 3 = 0 met de afgeleide en het raakpunt
en omdat het een raakpunt is, is de gewone f(x) ook van toepassing
27a + 9b + 9 = 0

twee vergelijkingen, twee onbekenden.

vanuit de eerste formule:
27a = 6b - 3
in de tweede invullen
6b -3 + 9b + 9 = 0
15b = -6

Dit klopt helaas niet, waar ga ik de fout in?

[Sjoerd Job]

Mij is het egaal.
(=linkerlimiet)

(=rechterlimiet)
Haal ze niet door elkaar, de linker- en rechterlimiet kunnen in waarde verschillen.
Ook jij mag je voorkeur hebben.

Ik zal het onthouden. Misschien door de vele posts wat achter geraakt, maar ik ben tot nu toe hier:

De limiet van de afgeleide van onder naar nul:
3ax² + 2bx + c, dus de limiet is c.
De limiet van de afgeleide van boven naar nul:
3 - 1,5 wortel x, dus de limiet is 3.
C = 3


27a -6b + 3 = 0 met de afgeleide en het raakpunt
en omdat het een raakpunt is, is de gewone f(x) ook van toepassing
27a + 9b + 9 = 0

twee vergelijkingen, twee onbekenden.

vanuit de eerste formule:
27a = 6b - 3
in de tweede invullen
6b -3 + 9b + 9 = 0
15b = -6

Dit klopt helaas niet, waar ga ik de fout in?

Let op, x = -3 invullen bij levert:

En x = -3 invullen bij de afgeleide levert

Een van de twee vergelijkingen klopte dus niet... Vanaf hier denk ik dat je wel verder kan.

[ItsGavril]

-post-

En dan denken dat als je het een keer of 8 opnieuw invult je de fout er wel uit hebt..
Toch knap, elke keer weer gewoon +9 opschrijven ipv -9.
Bedankt!

Ik denk dat ik die met de driehoeken nu ook weet.
Als ik een somrij maak van de rij die de lengte van een driehoek aangeeft, heb ik het antwoord bijna.
De rij die de lengte aangeeft:
Un+1 = b * r^(n-1) -> Un+1 = 2,7 * (0,81)^(n-1)
Dan de somrij van een meetkundige rij
2,7 * ((1-0,81^n)/(1-0,81)

Dan is de limiet voor n gaat naar oneindig 2,7/0,19 = 14,21 en dus overschrijdt de figuur de lijn. Vragen opgelost! Nu alleen die laatste limiet nog.

[David]

Hallo ItsGavril,

Bereken de limiet voor x gaat naar nul voor ((vierdemachtswortel(16+x))+2)/x

Kan je hiermee verder?

[ItsGavril]

Hallo ItsGavril,

Bereken de limiet voor x gaat naar nul voor ((vierdemachtswortel(16+x))+2)/x

Kan je hiermee verder?

Tot mijn schaamte moet ik bekennen van niet. Ik snap niet zo goed hoe het werkt met x die richting nul gaat, hierdoor krijg je toch een heel erg klein getal waardoor je een bijna oneindig grote uitkomst krijgt, of zelfs geen als hij gelijk is aan nul?

[David]

Ik snap niet zo goed hoe het werkt met x die richting nul gaat, hierdoor krijg je toch een heel erg klein getal waardoor je een bijna oneindig grote uitkomst krijgt, ...

Informeel wel, je kan waarden dicht bij 0, bijv. 0.000001 invullen en kijken wat je vindt.

In de teller kan je substitutie gebruiken.
0 invullen geeft: ?
Dat kan omdat de uitkomst gebonden is, en de functie continu is op een interval [a, b] met a<0<b.

[ItsGavril]

Informeel wel, je kan waarden dicht bij 0, bijv. 0.000001 invullen en kijken wat je vindt.

In de teller kan je substitutie gebruiken.
0 invullen geeft: ?
Dat kan omdat de uitkomst gebonden is, en de functie continu is op een interval [a, b] met a<0<b.

Invullen van nul in de teller geeft dat de teller 4 is. Dus dan krijg je 4 gedeeld door iets erg kleins, wat oneindig is zou ik zeggen. Het antwoord (ik weet het, niet naar antwoorden kijken, maar toch..) is echter 1/32e..