samengestelde functies

[wiskundeknobbel]

Beste mensen,

ik loop al een tijdje te sukkelen met de volgende som:

Gegeven: f(x)=3x^2+2 en g(x)=x^2-x; h = f o g en j = g o f.
Gevraagd: Bepaal k(x) zodanig dat k(h(x)) = j(x).

Ik hoop dat iemand me kan helpen, want ik ben ondertussen een beetje de weg kwijt tussen alle cijfers en x'en.

[luijs]

Leuk vraagstuk!! Ehm...

f(x)=3x^2+2
g(x)=x^2-x

h(x)=(3x^2+2)^2-(3x^2+2)=9x^4+12x^2-3x^2+2= 9x^4+9x^2+2
j(x)=3(x^2-x)^2+2=3(x^4-2x^3+x^2)+2= 3x^4-6x^3+3x^2+2

Zeg ik dat goed zo?

En dan:
k(h(x)) = j(x)
Dus
k(9x^4 + 9x^2 + 2) = 3x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 2

Ja... Eh... Zo weet ik het ook niet meer...
Lijkt erop dat ik gruwelijk in de verkeerde hoek zit te denken maar misschien dat jij me de goede kant op kan helpen.

Wat had je zelf al berekend? Hoever was je gekomen?

[Sjoerd Job]

Leuk vraagstuk!! Ehm...

f(x)=3x^2+2
g(x)=x^2-x

h(x)=(3x^2+2)^2-(3x^2+2)=9x^4+12x^2-3x^2+2= 9x^4+9x^2+2
j(x)=3(x^2-x)^2+2=3(x^4-2x^3+x^2)+2= 3x^4-6x^3+3x^2+2

Zeg ik dat goed zo?

En dan:
k(h(x)) = j(x)
Dus
k(9x^4 + 9x^2 + 2) = 3x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 2

Ja... Eh... Zo weet ik het ook niet meer...
Lijkt erop dat ik gruwelijk in de verkeerde hoek zit te denken maar misschien dat jij me de goede kant op kan helpen.

Wat had je zelf al berekend? Hoever was je gekomen?

Je draait h en j om... Je komt dus op
k(3x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 2) = 9x^4 + 9x^2 + 2

Laten we eens denken wat voor trukjes we mogen uitvoeren:
Kwadrateren
Vermenigvuldigen met een constante
(we mogen de oorspronkelijke X niet gebruiken)
De afgeleide nemen (hoop ik)

Nu, stel k(x) = 3x... Simpel
dan
Aj Aj aj, die 18 zit fout, en die 9 moet nog iets bij, en die 6 nog iets af.
Laten we de afgeleide nemen van h...
Dit moeten we nog een beetje schalen (factor anderhalf) , en dan optellen
Dus, stel nu dat
dan
Zullen we dan ook rekening houden met de tweede afgeleide?
Die -18x^2 moet + 9x^2 worden... dus moeten we +27x^2 doen.
Nu, 27 = .75 * 36, dus doen we + 3/4e van de tweede afgeleide

Stel
Invullen levert


Nu moet de 18x ook nog weg... De derde afgeleide misschien?
Hoe zou je zelf verder gaan?

[SafeX]

Leuk vraagstuk!! Ehm...

f(x)=3x^2+2
g(x)=x^2-x

h(x)=(3x^2+2)^2-(3x^2+2)=9x^4+12x^2-3x^2+2= 9x^4+9x^2+2
j(x)=3(x^2-x)^2+2=3(x^4-2x^3+x^2)+2= 3x^4-6x^3+3x^2+2

Zeg ik dat goed zo?

En dan:
k(h(x)) = j(x)
Dus
k(9x^4 + 9x^2 + 2) = 3x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 2

Ja... Eh... Zo weet ik het ook niet meer...
Lijkt erop dat ik gruwelijk in de verkeerde hoek zit te denken maar misschien dat jij me de goede kant op kan helpen.

Wat had je zelf al berekend? Hoever was je gekomen?

Je hebt inderdaad h en j omgedraaid en dan is k geen functie, want k(2)=2 en k(2)=20.

Hoe kom je aan deze opgave en waar hoort dit bij?

[wiskundeknobbel]

zelf hadden we het volgende:

f(x)=3x^2+2
g(x)=x^2-x
h(x)=3x^4-6x^3+3x^2+2
j(x)=9x^4+9x^2+2

k(h(x))=j(x) --> k(3x^4-6x^3+3x^2+2)=9x^4+9x^2+2;
k(x)=3x-4 --> k(j(x)) is dan 9x^4-18x^3+9x^2+2.

We komen nu 18x^3 te kort, dus dat moeten we opheffen op een of andere manier. Verder zijn we niet gekomen.