stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Bericht door **wnvl** » 27 jan 2012, 23:32

Afgesplitst uit het topic van wiskundebrein viewtopic.php?f=26&t=5739

In een smal straatje staan twee ladders kruislings geplaatst over de volledige breedte van het straat. De lengte van de ladders is respectievelijk 2 en 3 meter. Ze kruisen elkaar op één meter boven de grond. Hoe breed is de straat?

Afbeelding

Bericht door **barto** » 28 jan 2012, 11:27

Hier even een afbeelding:

$|AE| = 2$
$|BD| = 3$
$|CF| = 1$
$|BE| = |GH| = x$

Bericht door **barto** » 28 jan 2012, 12:05

De oppervlakte van $\bigtriangleup CBE$ kun je berekenen. De oppervlakte van $\bigtriangleup BDE$ ook. Trek je die van elkaar af, dan heb je de oppervlakte van $\bigtriangleup CDE$ .
De oppervlakte van $\bigtriangleup CDE$ is ook gelijk aan $\frac{|CH|*|DE|}{2}$ .
Omdat je $|DE|$ kan berekenen, weet je ook $|CH|$ .
Nu is $|CH|+|GC|=x$ . De oppervlakte van $\bigtriangleup ABC$ kun je nu op 2 manieren berekenen:
$\frac{|AB|*|GC|}{2}$ of $A_{\bigtriangleup AEB}-A_{\bigtriangleup BCE}$ .
Stel je die twee formules gelijk aan elkaar, dan krijg je een vergelijking in $x$ die zich sterk vereenvoudigt. Aan de volgende om die op te stellen.

Bericht door **wnvl** » 28 jan 2012, 19:09

barto schreef:De oppervlakte van $\bigtriangleup BDE$ ook.

Hoe?

Bericht door **barto** » 28 jan 2012, 20:44

$|DE|^2=|BD|^2-|BE|^2$
$|DE|=\sqrt{9-x^2}$
De oppervlakte wordt dan $\frac{|DE|*|BE|}{2}=\frac{x*\sqrt{9-x^2}}{2}$

Bericht door **meneer van Hoesel** » 28 jan 2012, 21:35

wnvl schreef:
barto schreef:De oppervlakte van $\bigtriangleup BDE$ ook.
Hoe?

Je hebt hier wel een sterk punt...

Opp. ▵CBE is ook niet te berekenen, het enige dat je kunt doen in dat stadium is de oppervlakte uitdrukken in de variable x zolas hier: x ∙ 1 ∙ ½

en opp. ▵BDE wordt dan x√(9−x²) ÷ 2, maar daarmee is er feitelijk nog niets berekend

Bericht door **SafeX** » 28 jan 2012, 21:50

Het is duidelijk dat er een opl is (tussen 1 en 2 natuurlijk(?)).
Vraag: is een exacte opl bedoeld?

Bericht door **wnvl** » 28 jan 2012, 23:31

SafeX schreef:Het is duidelijk dat er een opl is (tussen 1 en 2 natuurlijk(?)).

Klopt.

SafeX schreef: Vraag: is een exacte opl bedoeld?

Ja. De oplossing is een reëel getal dat uitgedrukt wordt met machtswortels.

Uitdaging is in eerste instantie een vergelijking op te stellen waaruit de oplossing berekend kan worden. Qua meetkunde is alleen Pythagoras nodig.

De vergelijking oplossen is lastiger omdat ze van graad 4 is, maar daar kan altijd Wolfram voor gebruikt worden of http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation.

Bericht door **op=op** » 29 jan 2012, 09:14

$|AE| = 2$
$|BD| = 3$
$|CF| = 1$

$AB = u,\, DE=v,\,BF=x,\,FE=y$

Dan is in driehoek BEA:
$\frac{CF}{AB} = \frac{FE}{BE}$ ofwel $\frac{1}{u} = \frac{y}{x+y}$
Net zo in driehoek BED:
$\frac{1}{v} = \frac{x}{x+y}$

Dus $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = 1$
ofwel $v = \frac{u}{u-1}$ (I).

Pythagoras in deze driehoeken geeft:
$u^2 + (x+y)^2 = 4$ en
$v^2+(x+y)^2 = 9$

Deze vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft
$v^2-u^2 = 5$
Substitutie van (I) geeft uiteindelijk:
$u^4-2u^3+5u^2-10u+5=0$
Deze vergelijking heeft geen eenvoudige nulpunten.
We zoeken $x+y$ en dat is $\sqrt{u^2+4}$ .

Bericht door **barto** » 29 jan 2012, 10:33

Leuke oplossing.
Om toch even die van mij te verduidelijken:
Afbeelding

$|AE| = 2$
$|BD| = 3$
$|CF| = 1$
$|BE|=x$

Je vindt:
$A_{\bigtriangleup BCE}=\frac{x}{2}$
$A_{\bigtriangleup BDE}=\frac{x*\sqrt{9-x^2}}{2}$
$A_{\bigtriangleup CDE}=A_{\bigtriangleup BDE}-A_{\bigtriangleup CBE}=\frac{x*\sqrt{9-x^2}-x}{2}$

Omdat $A_{\bigtriangleup CDE}=\frac{|CH|*|DE|}{2}=\frac{|CH|*\sqrt{9-x^2}}{2}$
Is: $|CH|=\frac{x*\sqrt{9-x^2}-x}{\sqrt{9-x^2}}$

$|GC|=x-|CH|=x-\frac{x*\sqrt{9-x^2}-x}{\sqrt{9-x^2}}=\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$

De oppervlakte van $\bigtriangleup ABC$ kun je nu op twee manieren berekenen:

$A_{\bigtriangleup ABC}=\frac{|GC|*|AB|}{2}=\frac{x*\sqrt{4-x^2}}{2*\sqrt{9-x^2}}$

$A_{\bigtriangleup ABC}=A_{\bigtriangleup ABE}-A_{\bigtriangleup CBE}=\frac{x*\sqrt{4-x^2}-x}{2}$

Stel je die twee gelijk:

$\frac{x*\sqrt{4-x^2}-x}{2}=\frac{x*\sqrt{4-x^2}}{2*\sqrt{9-x^2}}$

Maar dan krijg je zo'n onhandige vergelijking die zich niet zo erg vereenvoudigd als ik eerst dacht, het wordt een 8-ste graadsvgl.
De exacte oplossing vindt je hier en is niet zo'n eenvoudige vierkantswortel: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sq ... -x^2%29%29

Bericht door **op=op** » 29 jan 2012, 12:38

barto schreef: $\frac{x*\sqrt{4-x^2}-x}{2}=\frac{x*\sqrt{4-x^2}}{2*\sqrt{9-x^2}}$

Schrijf nu $\sqrt{4-x^2}=u$ ,
dan is $\sqrt{9-x^2}=\sqrt{5+u^2}$ en
$\sqrt{5+u^2} = \frac{u}{u-1}$ .
Dat leidt tot een vierdegraadsveeltermvergelijking.

Bericht door **barto** » 29 jan 2012, 12:59

En die vierdegraadsvgl is dan weer $u^4-2u^3+5u^2-10u+5=0$ zoals jij al had.

Bericht door **wnvl** » 29 jan 2012, 14:31

http://puzzle.dse.nl/complex/ladder_alley_nl.html

Wiskundeforum

stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)

Re: stelling pythagoras voor gevorderden (afsplitsing)