goniometrie

plientje · Bericht door **plientje** » 04 mei 2005, 11:39

Ik moet een antwoord geven op de volgende vraag, maar ik snap het niet helemaal. Hopelijk kunnen jullie mij helpen?

Niet altijd hebben twee lijnen een snijpunt. Onderzoek welk verband er tussen a,b,c,p,q en r bestaat als de lijnen ax+by=c en px+qy=r geen snijpunt hebben. Illustreer je resultaat met enkele voorbeelden.

Bericht door **Farshad** » 05 mei 2005, 22:22

Uitleggen kan ik niet, maar twee lijnen die niet evenwijdig zijn, zullen elkaar altijd raken! Dus daaraan moet je denken om het te snappen.

Hierdoor moet het dus zijn:

a=p

b=q

c mag niet r zijn, maar wel elke andere getal.

Bericht door **Marco** » 07 mei 2005, 14:10

Wat Farshad zegt gaat alleen op in één vlak. Als de lijnen in meerdere vlakken liggen is het wel anders, en moeilijker.

Po'tje · Bericht door **Po'tje** » 13 feb 2006, 15:00

nieuw probleem in de goniometrie.
Hoe bewijs je dat cos(2x) - 1 = -2sin(2x) - p cos(x) ?

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 13 feb 2006, 17:32

plientje schreef:Ik moet een antwoord geven op de volgende vraag, maar ik snap het niet helemaal. Hopelijk kunnen jullie mij helpen?

Niet altijd hebben twee lijnen een snijpunt. Onderzoek welk verband er tussen a,b,c,p,q en r bestaat als de lijnen ax+by=c en px+qy=r geen snijpunt hebben. Illustreer je resultaat met enkele voorbeelden.

Eerst eens even je eerste vraagstuk...
$ax+by=c \\ \frac{a}{b}x - \frac{c}{b} = y$
En de volgende lijn
$bx+qy=r \\ \frac{p}{q}x - \frac{r}{q} = y$
Nu geld dat om evenwijdig te zijn, de richtingscoefficienten gelijk moeten zijn:
$\frac{a}{b} = \frac{p}{q}$
a en p hoeven niet altijd gelijk te zijn, net als b en q niet altijd gelijk hoeven te zijn. Maar de ratio moet wel gelijk zijn.

Vanwege dat deze formule's zo gegeven zijn, weten we dat het hier om één vlak gaat, en niet meerdere.

De volgende vraag:

Bewijs $\cos(2x) - 1 = -2\sin(2x) - p \cos(x)$ .
Ik vind die p die plotseling verschijnt. Wat moeten we hier mee. Wat gaan we dan hiermee doen? Ik weet het echt niet.

Kun je later even de vraag in de juiste formulering neerzetten? Misschien ook nog met bronvermelding: Boek, pagina.

Po'tje · Bericht door **Po'tje** » 13 feb 2006, 17:49

Bedankt voor de snelle reactie in ieder geval.
Het betreft een practische opdracht, dus ik kan helaas geen bron geven.
P kan elke waarde aannemen van 0 t/m 4 met het domein van de functie [ 0 , pi ], dat is gegeven.
Ik zal hieronder het gehele vraagstuk proberen uit te leggen:
Fp(x) = 2sin(x)kwadraat - p sin (x)
hierbij is sin(x) in zijn geheel in het kwadraat.
Als je verschillende waarde (tussen 0 en 4) invult voor p, krijg je telkens 1 of 2 punten met een minimale y-coördinaat.
Ik moet dus bewijzen dat al deze punten op de grafiek van de functie k(x)= cos (2x) - 1 liggen.
Ik dacht dus dat de afgeleide van Fp(x) dan k(x) zou moeten zijn.. In dat geval zou je dus krijgen: cos(2x) - 1 = -2sin(2x) - p cos(x)

Wat doe ik fout? Zou u mij kunnen uitleggen hoe ik dit in ieder geval kan oplossen, stapje voor stapje met antwoord? Maar misschien is dat te veel gevraagd..

In ieder geval al hartstikke bedankt voor uw moeite

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 13 feb 2006, 22:37

Po'tje schreef:Bedankt voor de snelle reactie in ieder geval.
Het betreft een practische opdracht, dus ik kan helaas geen bron geven.
P kan elke waarde aannemen van 0 t/m 4 met het domein van de functie [ 0 , pi ], dat is gegeven.
Ik zal hieronder het gehele vraagstuk proberen uit te leggen:
Fp(x) = 2sin(x)kwadraat - p sin (x)
hierbij is sin(x) in zijn geheel in het kwadraat.
Als je verschillende waarde (tussen 0 en 4) invult voor p, krijg je telkens 1 of 2 punten met een minimale y-coördinaat.
Ik moet dus bewijzen dat al deze punten op de grafiek van de functie k(x)= cos (2x) - 1 liggen.
Ik dacht dus dat de afgeleide van Fp(x) dan k(x) zou moeten zijn.. In dat geval zou je dus krijgen: cos(2x) - 1 = -2sin(2x) - p cos(x)

Wat doe ik fout? Zou u mij kunnen uitleggen hoe ik dit in ieder geval kan oplossen, stapje voor stapje met antwoord? Maar misschien is dat te veel gevraagd..

In ieder geval al hartstikke bedankt voor uw moeite

Ok, nu hebben we tenminste de totale opgave... dat helpt zeker.

$f_p(x) = 2 \sin^2(x) - p \sin(x)$
Nu gaat het om de minimale punten... Laten we eerst eens denken over extreme waarden. Hiervoor hebben we de afgeleide nodig... Nu gaan we even een trukje uitvoeren: Wij zeggen sin(x) = u
$2 \cdot u^2 - p \cdot u$
De afgeleide hiervaan zal zeker wel lukken! Nu zeg je natuurlijk:
$\frac{dy}{du} = 4 \cdot u - p$
En je hebt nog gelijk ook
Ok, we kennen ook de regel:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$
Dus, wat is dat dan?
$\frac{du}{dx} = \cos(x)$
Invullen!
$f'_p(x) = \cos(x) \cdot \left(4 \cdot \sin(x) - p\right)$
Kunnen we dit verder uitwerken? Heeft dat nog nut? Ja, Nee. We kunnen het verder uitwerken, maar het heeft geen nut.
De afgeleide is nul als 4*sin(x) -p = 0 of cos(x) = 0...

Nu moeten wij op een of andere manier het x-coord. van de minima uitdrukken in p, en de y-coord. Zo van: Oftewel, de 2 coordinaten van die minima uitdrukken in p.

p(asin(.25p), -.125p^2)

asin(.25p) = x
p = 4*sin(x)

y = -.125*(4*sin(x))^2
y = -.125*16*sin^2(x)
y = -2 * sin^2(x)
Nu moeten we dit nog omzetten in onze leuke formule.
1 = sin^2(x) + cos^2(x)
sin^2(x) = 1 - cos^2(x)
y = -2 * ( 1 - cos^2(x))
y = -2 + 2 cos^2(x)
We weten: 2*cos^2(x) - 1 = cos(2x)
y = -1 + (2 cos^2(x) - 1)
y = -1 + cos(2x)
y = cos(2x) - 1

EDIT: Nog even een toevoeging, dat is soms wel eens nodig.
De wiskundige stappen die ik heb gemaakt waren mij eerst ook niet allemaal bekend. Maar, toch zou ik er met pen en papier ook wel achter gekomen zijn, vermoed ik... (Ik was nogal haastig).
Ook was je intuitie niet helemaal correct. Althans, jou notatie in ieder geval niet. De truc bij deze opgaven is om de x-punten van de top uit te drukken in de "onbekende" (p).
Dan, moet je dit weer omzetten in een formule, met wat je weet...

Po'tje · Bericht door **Po'tje** » 15 feb 2006, 18:19

Oke, ontzettend bedankt Sjoerd Job, ik zie nu ook in dat het een stukje beter is op uw manier

Het probleem wat bij mij volgt is de primitieve die zou moeten volgen uit de gegeven formule: 2sin^2(x) - p sin (x).
Voor deze opdracht is gegeven at p = 1.

door deze formule om te schrijven naar cos (2x) -1 - sin (x) is het probleem opgelost van het kwadraat. Deze stap klopt toch?
Door dit te primitiveren, krijg je: 0,5 sin (2x) - x + cos (x)
Maar dat klopt dus niet.. Met andere woorden, ik zit weer met een nieuw probleem...

Bericht door **Marco** » 15 feb 2006, 19:04

Po'tje, je mag hier iedereen met 'je' aanspreken hoor. Ik lig hier nog steeds onder de tafel van het lachen omdat ik Sjoerd Job ken, en hij is nog lang geen U

:P

Po'tje · Bericht door **Po'tje** » 15 feb 2006, 19:11

hehe, maakt u zich geen zorgen, ben gewoon zo opgevoed! Of nouja.. eigenlijk zo opgevoed door m'n vriendin.. Die noemde me in het begin ook telkens u. In het begin raar, zelfs storend vond ik maar je went er snel aan

En ik heb uiteindelijk nog steeds die primitieve nodig ^^

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 15 feb 2006, 19:25

Po'tje schreef:Oke, ontzettend bedankt Sjoerd Job, ik zie nu ook in dat het een stukje beter is op uw manier
Het probleem wat bij mij volgt is de primitieve die zou moeten volgen uit de gegeven formule: 2sin^2(x) - p sin (x).
Voor deze opdracht is gegeven at p = 1.

door deze formule om te schrijven naar cos (2x) -1 - sin (x) is het probleem opgelost van het kwadraat. Deze stap klopt toch?
Door dit te primitiveren, krijg je: 0,5 sin (2x) - x + cos (x)
Maar dat klopt dus niet.. Met andere woorden, ik zit weer met een nieuw probleem...

Het is de truc om de "verandering" wel goed door te voeren:
sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

$2 \cdot \sin^2(x) - p \sin(x)$
Ons regeltje doorvoeren: sin^2(x) = 1 - cos^2(x)
$2 \cdot ( 1 - \cos^2(x) ) - p \sin(x)$
Haakjes uitwerken
$2 - 2 \cos^2(x) - p \sin(x)$
$1 - (2 \cos^2(x) - 1) - p \sin(x)$
2*cos^2(x) - 1 = cos(2x)
$1 - \cos(2x) - p \sin(x)$

Vergelijk dit eens met de formule - $\cos(2x) - 1 - p \sin(x)$ die je zelf hebt gevonden? Er is wel een klein verschil.

Nu gaan we de 'juiste' formule primitiveren
$x - .5 \sin(2x) + p \cos(x)$

Wat je met de primitieve wil, weet ik niet, dat mag je me nog even mooi uitleggen.

Po'tje · Bericht door **Po'tje** » 15 feb 2006, 19:39

Ik moet er de oppervlakte mee berekenen van het "grootste" gebiedsdeel bij de functie 2sin^2(x) - p sin (x). Hierbij weer p=1.

Weer bedankt trouwens, zie wéér waar ik fout zat, leer er toch nog wat van dus

Kan deze oppervlakte precies worden berekent, of komt er gewoon een afgerond getal uit? Dit zou dan 1,2283697

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 15 feb 2006, 20:19

Po'tje schreef:Ik moet er de oppervlakte mee berekenen van het "grootste" gebiedsdeel bij de functie 2sin^2(x) - p sin (x). Hierbij weer p=1.

Weer bedankt trouwens, zie wéér waar ik fout zat, leer er toch nog wat van dus

Kan deze oppervlakte precies worden berekent, of komt er gewoon een afgerond getal uit? Dit zou dan 1,2283697

Het KAN precies worden berekend, maar de kan dat dit boven je niveau is is vrij groot, ikzelf zou het ook niet kunnen met pen en papier.

Alhoewel... laat ik het eens proberen...
sin(2*5/6*pi) = sin(5/3*pi)
Laten we dit eens bekijken. 1/3*pi komt overeen met 60 graden. We kunnen ons voor stellen als een 30-60-90 driehoek. We weten de scheve zijde, maar we kunnen we andere twee ook na-rekenen.

Eerst maar eens de hoogte (tegenover hoek van 60 graden). Dit is - en je moet waarschijnlijk even de driehoek ervoor tekenen - wortel(.75), of .5*wortel(3) Maar... de driehoek zit aan de andere kant van de as, dus -.5*wortel(3).

Dit moeten we nog vermenigvuldigen met -.5, dus komen we op wortel(3)/4

De volgende stap:
cos(5/6*pi)
Dit staat gelijk aan 150 graden, oftewel het tegenovergestelde van 30. Nu moeten we dus de zijde langs de hoek van 30 graden berekenen, ofwel die TEGENOVER de hoek van 60

... Tsja, dat was toch .5wortel(3)? Maar, ook nu moeten we de negatieve waarde nemen.

En nu moeten we daar nog x bij optellen, ofwel 5/6*pi...

$\frac{5}{6}\pi + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{4}$

En nu op zoek naar 1/6pi...
Zelfde stappen...
We komen nu bij de sinus van 1/3 pi, oftewel .5wortel(3). Nu nog maal -.5...
$\frac{1}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{6}\pi + \frac{\sqrt{3}}{4}$

Verschil zoeken
$\frac{5}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{4} - (\frac{1}{6}\pi + \frac{\sqrt{3}}{4})$
Haakjes wegwerken
$\frac{5}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{4}$
Herschikken
$\frac{5}{6}\pi - \frac{1}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}$
Pi-tjes oplossen, en de worteltjes
$\frac{2}{3}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}$
En even checken! En ja, inderdaad! Dat klopt!

Bericht door **SafeX** » 17 feb 2006, 12:50

Po'tje schreef:Bedankt voor de snelle reactie in ieder geval.
Het betreft een practische opdracht, dus ik kan helaas geen bron geven.
P kan elke waarde aannemen van 0 t/m 4 met het domein van de functie [ 0 , pi ], dat is gegeven.
Ik zal hieronder het gehele vraagstuk proberen uit te leggen:
Fp(x) = 2sin(x)kwadraat - p sin (x)
hierbij is sin(x) in zijn geheel in het kwadraat.
Als je verschillende waarde (tussen 0 en 4) invult voor p, krijg je telkens 1 of 2 punten met een minimale y-coördinaat.
Ik moet dus bewijzen dat al deze punten op de grafiek van de functie k(x)= cos (2x) - 1 liggen.
Ik dacht dus dat de afgeleide van Fp(x) dan k(x) zou moeten zijn.. In dat geval zou je dus krijgen: cos(2x) - 1 = -2sin(2x) - p cos(x)

Wat doe ik fout? Zou u mij kunnen uitleggen hoe ik dit in ieder geval kan
oplossen, stapje voor stapje met antwoord? Maar misschien is dat te veel gevraagd..

In ieder geval al hartstikke bedankt voor uw moeite

Er is iets vreemds met de opgave!
Het domein van de functie is [0,Pi] en p is element van [0,4].
Het extreem (max) ligt op de lijn x=Pi/2 (cos(x)=0) en niet op k(x).
Het zijn de ptn $(\frac{\pi}{2},y_T)$ met $0\leq{y_T}\leq{6}$

Po'tje · Bericht door **Po'tje** » 17 feb 2006, 15:43

het gaat over het minimum!
Maar hartstikke bedankt voor de hulp, ben er nu helemaal uitgekomen, alleen nog even afwachten wat het punt is (A)

Wiskundeforum

goniometrie

goniometrie

Re: goniometrie