limiet

Wil je wiskunde studeren? Of gewoon meer informatie over wiskunde als studie? Dit is de plek!
Plaats reactie
JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

limiet

Bericht door JackMol » 31 mar 2019, 19:52

Kan iemand deze definitie alstublieft uitleggen met behulp van een grafiek? alvast bedankt

Eigenlijke limiet in +∞
lim x→+∞ f(x) =b⇔∀ε∈R+0,∃P∈R+0 : x>P⇒|f(x)−b|<ε

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3140
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: limiet

Bericht door arie » 01 apr 2019, 14:28

Voor alle positieve \(\epsilon\), hoe klein dan ook, moet er een P te vinden zijn, zodanig dat voor alle x > P de afstand van f(x) tot b kleiner is dan \(\epsilon\):
\(| f(x) - b | < \epsilon\)

Let op: \(\epsilon\) mag niet nul zijn, want een afstand kan nooit kleiner dan nul zijn.

Voorbeeld:

\(f(x) = 1 + \frac{2}{x}\)

Als x naar oneindig gaat, dan gaat de breuk \(\frac{2}{x}\) naar nul en f(x) naar 1.
Dus de limiet b = 1.

We moeten via de definitie nu gaan aantonen dat voor alle positieve \(\epsilon\), hoe klein dan ook,
er een P te vinden is, zodanig dat voor alle x > P geldt:

\(| f(x) - 1 | < \epsilon\)

Dus de vraag is: voor welke waarden van x geldt dit?

We kijken voor x naar oneindig, dus we mogen stellen \(x > 0\).
Omdat voor \(x > 0\) geldt dat \(\frac{2}{x} > 0\) is \(f(x) = 1 + \frac{2}{x} > 1\)
Dat betekent dat voor \(x > 0\) geldt dat \(f(x)-1 > 0\) en we de absoluut strepen kunnen weglaten:
er moet gelden:

\( f(x) - 1 < \epsilon\)

ofwel:

\( 1 + \frac{2}{x} - 1 < \epsilon\)

\( \frac{2}{x} < \epsilon\)

\( x > \frac{2}{\epsilon}\)

Dus voor alle \( x > \frac{2}{\epsilon}\) geldt dat \(| f(x) - 1 | < \epsilon\).
Als we nu P gelijk stellen aan \(\frac{2}{\epsilon}\) zijn we klaar met ons bewijs.

We hebben nu aangetoond:
voor alle positieve \(\epsilon\), hoe klein dan ook, bestaat er een \(P = \frac{2}{\epsilon}\), zodanig dat voor alle x > P de afstand van f(x) tot 1 kleiner is dan \(\epsilon\):
\(| f(x) - 1 | < \epsilon\)


Neem bijvoorbeeld \(\epsilon = 2\), dan krijgen we dit plaatje:

Afbeelding

De blauwe kromme is f(x): y = 1 + 2/x
De groene lijn is y = b = 1
De rode lijnen zijn
\(y = b + \epsilon = 1 + 2 = 3\)
en
\(y = b - \epsilon = 1 - 2 = -1\)
De punten op deze 2 rode lijnen hebben een afstand van precies \(\epsilon = 2\) tot b.
De punten tussen deze 2 rode lijnen (lichtrood) hebben een afstand kleiner dan 2 tot b.

Neem \(P = \frac{2}{\epsilon} = 1\), dan ligt de grafiek van f(x) voor x > P, dus x > 1 volledig in het lichtrode gebied:
voor alle \(x > 1\) geldt: \(| f(x) - 1 | < 2\)

Voor \(\epsilon = 2\) hebben we nu dus een P gevonden, namelijk: P = 1
(Merk op: elke grotere waarde voor P, bv P=6, voldoet ook, maar het gaat er om dat we ten minste 1 waarde voor P hebben kunnen vinden).


Nu kunnen we hetzelfde doen voor een kleinere \(\epsilon > 0\), bijvoorbeeld \(\epsilon = 1\):
\(P = \frac{2}{1} = 2\)

Afbeelding

Voor alle x > 2 is \(| f(x) - 1 | < 1\)
ofwel:
Voor alle x > 2 ligt de grafiek van f(x) in het lichtrode gebied.


En hetzelfde voor nog kleinere \(\epsilon > 0\), bijvoorbeeld \(\epsilon = \frac{1}{2}\):
\(P = \frac{2}{1/2} = 4\)

Afbeelding

Voor alle x > 4 is \(| f(x) - 1 | < \frac{1}{2}\)

Enzovoorts voor alle steeds kleinere positieve \(\epsilon\)


Wordt het hiermee wat duidelijker?

JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 25
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Re: limiet

Bericht door JackMol » 02 apr 2019, 20:26

Ja, zeer bedankt.

Plaats reactie