Bewijs uit het ongerijmde

Wil je wiskunde studeren? Of gewoon meer informatie over wiskunde als studie? Dit is de plek!
Plaats reactie

Hoe zag dit er uit?

Perfect
0
Geen stemmen
Goed
2
100%
Normaal
0
Geen stemmen
Slecht
0
Geen stemmen
Klopt niets van
0
Geen stemmen
 
Totaal aantal stemmen: 2

Michael963
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 24 jan 2011, 00:39

Bewijs uit het ongerijmde

Bericht door Michael963 » 24 jan 2011, 22:39

Ik wil even zeker weten of het volgende bewijs klopt, en of ik een foutje gemaakt heb.
Het bewijs is de versie van het Vlaams leerplan.
Voor het bewijs zal ik het irrationaal getal gebruiken.

Het bewijs in het ongerijmde:

We veronderstellen dat een rationaal getal is en dus als een onvereenvoudigbare breuk geschreven kan worden.


=

= (

= 2



=> is deelbaar door 2
=> a is dus ook deelbaar door 2

=> a = 2q





=> is deelbaar door 2
=> is dus ook deelbaar door 2.

De breuk is nog verder vereenvoudigbaar, maar dat is strijdig met onze veronderstelling. kan niet als een vereenvoudigbare breuk geschreven worden, dus is geen rationaal, maar een irrationaal getal.

Verbeter even waar ik fout ben.

Kinu
Moderator
Moderator
Berichten: 1144
Lid geworden op: 22 okt 2010, 15:38

Re: Bewijs uit het ongerijmde

Bericht door Kinu » 24 jan 2011, 22:58

Het is een goed bewijs. Je bent uiteindelijk gekomen tot het feit dat zowel a als b nog deelbaar zijn door 2 terwijl in het gegeven stond dat ze geen gemeenschappelijke delers mochten hebben. Als je googelt: 'bewijs uit het ongerijmde voorbeeld' staat daar ook een bewijs dat analoog is met dit bewijs.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Bewijs uit het ongerijmde

Bericht door SafeX » 24 jan 2011, 23:15

Michael963 schreef: => is deelbaar door 2
=> a is dus ook deelbaar door 2
Eigenlijk moet je dit nog bewijzen.

Kinu
Moderator
Moderator
Berichten: 1144
Lid geworden op: 22 okt 2010, 15:38

Re: Bewijs uit het ongerijmde

Bericht door Kinu » 24 jan 2011, 23:20

SafeX schreef:
Michael963 schreef: => is deelbaar door 2
=> a is dus ook deelbaar door 2
Eigenlijk moet je dit nog bewijzen.
Akkoord, er ontbreekt zoiets in het bewijs als a^2(immers is 2b^2 altijd even, naargelang welke gehele waarde voor b) is zeker even en daaruit kan je dan wel volgens mij bewijzen dat a ook even is.

Michael963
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 24 jan 2011, 00:39

Re: Bewijs uit het ongerijmde

Bericht door Michael963 » 24 jan 2011, 23:41

SafeX schreef:
Michael963 schreef: => is deelbaar door 2
=> a is dus ook deelbaar door 2
Eigenlijk moet je dit nog bewijzen.
Welk getal men ook mag vermenigvuldigen met 2, de uitkomst is even. d.w.z. dat a² sowieso deelbaar is door 2, dus zal a ook even zijn, dus ook deelbaar door 2

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Bewijs uit het ongerijmde

Bericht door op=op » 25 jan 2011, 10:21

Een terechte opmerking van SaveX.
Nu is een getal altijd even of oneven.
Als oneven is, dan kan ik het schrijven als .
Dan is een viervoud plus 1, dus niet deelbaar door 2.
Als daarentegen even is, dan is deelbaar door 4, dus deelbaar door 2.

Het bewijs kan ietje korter.
Uit volgt,
daar en geen gemeenschappelijke delers hebben, en dus en ook niet, dat de breuk niet verder te vereenvoudigen is en dus dat moet zijn en .
Er bestaat echter geen natuurlijk getal waarvan het kwadraat 2 is.

Michael963
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 24 jan 2011, 00:39

Re: Bewijs uit het ongerijmde

Bericht door Michael963 » 26 jan 2011, 23:30

op=op schreef:Een terechte opmerking van SaveX.
Nu is een getal altijd even of oneven.
Als oneven is, dan kan ik het schrijven als .
Dan is een viervoud plus 1, dus niet deelbaar door 2.
Als daarentegen even is, dan is deelbaar door 4, dus deelbaar door 2.

Het bewijs kan ietje korter.
Uit volgt,
daar en geen gemeenschappelijke delers hebben, en dus en ook niet, dat de breuk niet verder te vereenvoudigen is en dus dat moet zijn en .
Er bestaat echter geen natuurlijk getal waarvan het kwadraat 2 is.
akkoord, alhoewel ik liever a=2x+1 zie, is makkelijker om te volgen, heb het nl. zo aangeleerd, maar ik begrijp het nog steeds (:

Plaats reactie