Ik wil even zeker weten of het volgende bewijs klopt, en of ik een foutje gemaakt heb.
Het bewijs is de versie van het Vlaams leerplan.
Voor het bewijs zal ik het irrationaal getal gebruiken.
Het bewijs in het ongerijmde:
We veronderstellen dat een rationaal getal is en dus als een onvereenvoudigbare breuk geschreven kan worden.
=
= (
= 2
=> is deelbaar door 2
=> a is dus ook deelbaar door 2
=> a = 2q
=> is deelbaar door 2
=> is dus ook deelbaar door 2.
De breuk is nog verder vereenvoudigbaar, maar dat is strijdig met onze veronderstelling. kan niet als een vereenvoudigbare breuk geschreven worden, dus is geen rationaal, maar een irrationaal getal.
Verbeter even waar ik fout ben.
Bewijs uit het ongerijmde
-
- Nieuw lid
- Berichten: 7
- Lid geworden op: 24 jan 2011, 00:39
Re: Bewijs uit het ongerijmde
Het is een goed bewijs. Je bent uiteindelijk gekomen tot het feit dat zowel a als b nog deelbaar zijn door 2 terwijl in het gegeven stond dat ze geen gemeenschappelijke delers mochten hebben. Als je googelt: 'bewijs uit het ongerijmde voorbeeld' staat daar ook een bewijs dat analoog is met dit bewijs.
Re: Bewijs uit het ongerijmde
Eigenlijk moet je dit nog bewijzen.Michael963 schreef: => is deelbaar door 2
=> a is dus ook deelbaar door 2
Re: Bewijs uit het ongerijmde
Akkoord, er ontbreekt zoiets in het bewijs als a^2(immers is 2b^2 altijd even, naargelang welke gehele waarde voor b) is zeker even en daaruit kan je dan wel volgens mij bewijzen dat a ook even is.SafeX schreef:Eigenlijk moet je dit nog bewijzen.Michael963 schreef: => is deelbaar door 2
=> a is dus ook deelbaar door 2
-
- Nieuw lid
- Berichten: 7
- Lid geworden op: 24 jan 2011, 00:39
Re: Bewijs uit het ongerijmde
Welk getal men ook mag vermenigvuldigen met 2, de uitkomst is even. d.w.z. dat a² sowieso deelbaar is door 2, dus zal a ook even zijn, dus ook deelbaar door 2SafeX schreef:Eigenlijk moet je dit nog bewijzen.Michael963 schreef: => is deelbaar door 2
=> a is dus ook deelbaar door 2
Re: Bewijs uit het ongerijmde
Een terechte opmerking van SaveX.
Nu is een getal altijd even of oneven.
Als oneven is, dan kan ik het schrijven als .
Dan is een viervoud plus 1, dus niet deelbaar door 2.
Als daarentegen even is, dan is deelbaar door 4, dus deelbaar door 2.
Het bewijs kan ietje korter.
Uit volgt,
daar en geen gemeenschappelijke delers hebben, en dus en ook niet, dat de breuk niet verder te vereenvoudigen is en dus dat moet zijn en .
Er bestaat echter geen natuurlijk getal waarvan het kwadraat 2 is.
Nu is een getal altijd even of oneven.
Als oneven is, dan kan ik het schrijven als .
Dan is een viervoud plus 1, dus niet deelbaar door 2.
Als daarentegen even is, dan is deelbaar door 4, dus deelbaar door 2.
Het bewijs kan ietje korter.
Uit volgt,
daar en geen gemeenschappelijke delers hebben, en dus en ook niet, dat de breuk niet verder te vereenvoudigen is en dus dat moet zijn en .
Er bestaat echter geen natuurlijk getal waarvan het kwadraat 2 is.
-
- Nieuw lid
- Berichten: 7
- Lid geworden op: 24 jan 2011, 00:39
Re: Bewijs uit het ongerijmde
akkoord, alhoewel ik liever a=2x+1 zie, is makkelijker om te volgen, heb het nl. zo aangeleerd, maar ik begrijp het nog steeds (:op=op schreef:Een terechte opmerking van SaveX.
Nu is een getal altijd even of oneven.
Als oneven is, dan kan ik het schrijven als .
Dan is een viervoud plus 1, dus niet deelbaar door 2.
Als daarentegen even is, dan is deelbaar door 4, dus deelbaar door 2.
Het bewijs kan ietje korter.
Uit volgt,
daar en geen gemeenschappelijke delers hebben, en dus en ook niet, dat de breuk niet verder te vereenvoudigen is en dus dat moet zijn en .
Er bestaat echter geen natuurlijk getal waarvan het kwadraat 2 is.