225 lampjes in tempex plaat

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Lin
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 10 jan 2019, 14:18

225 lampjes in tempex plaat

Bericht door Lin » 10 jan 2019, 14:26

Hallo samen. Ik vraag me af hoe ik het volgende het makkelijkst kan uitreken.

Ik heb een tempex plaat van 50cmx120cm.
Hierin ga ik 225 kerstlampjes steken.
Ik zal iets van de randen af moeten blijven.

Met welke berekening krijg ik deze gelijk verdeeld over de plaat?

Bedankt alvast!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3136
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: 225 lampjes in tempex plaat

Bericht door arie » 10 jan 2019, 17:37

Het hangt er van af hoe je de lampjes wilt verdelen.
Het eenvoudigste is in een rechthoek.
Je plaat heeft afmetingen 50 x 120, een verhouding van 50 : 120 = 1 : 2.4
De lampjes zal je ook zo dicht mogelijk bij deze verhouding willen verdelen.

Je hebt 225 lampjes, als we de delers van 225 afgaan krijgen we:
1 x 225, een verhouding van 1 : 225
3 x 75 een verhouding van 1 : 25
5 x 45 een verhouding van 1 : 9
9 x 25 een verhouding van 1 : 2.777...
15 x 15 een verhouding van 1 : 1

De verhouding 9 : 25 (= 1 : 2.777) komt dus het dichtste bij die van de plaat (= 1 : 2.4),
we zullen de lampjes daarom verdelen over 9 rijen van 5 lampjes:

Afbeelding

Noem
rx = de afstand van de lamjes tot de linker en rechter rand,
dx = de afstand van de lampjes onderling in lengterichting,
ry = de afstand van de lamjes tot de boven- en onderrand,
dy = de afstand van de lampjes onderling in breedte richting,

dan is de totale lengte = 120 = 2 * rx + (aantal kolommen - 1) * dx
(merk op: de 25 kolommen hebben (25 - 1) tussenruimtes, vandaar die "- 1")
Als je rx de helft van dx maakt, hou je over:
120 = (aantal kolommen) * dx,
dus in dit geval is
dx = 120 / 25 = 4.8 cm
en
rx = dx/2 = 4.8 / 2 = 2.4 cm

evenzo voor de breedte:
de totale breedte = 50 = 2 * ry + (aantal rijen - 1) * dy
als je ry de helft van dy maakt, hou je over 50 = (aantal rijen) * dy,
dus in dit geval is
dy = 50 / 9 = 5.555... cm
en
ry = dy/2 = 5.555... / 2 = 2.777... cm

Dit is wat ik in het plaatje heb gedaan.

Je kan er ook voor kiezen eerst zelf rx en ry te kiezen, wat er dan overblijft is voor dx en dy:
dx = (120 - 2*rx) / (aantal kolommen - 1)
en
dy = (50 - 2*ry) / (aantal rijen - 1)



Variant:
Als je dy net zo groot wilt maken als dx = 4.8 cm, dan wordt ry:
2 * ry = 50 - (aantal rijen - 1) * dy = 50 - 8 * 4.8 = 11.6 cm,
dus dan is
ry = 11.6 / 2 = 5.8 cm.
Dit ziet er dan zo uit:

Afbeelding

Nu is de horizontale afstand tussen de lampjes even groot als hun verticale afstand.


Nog een variant:
Neem 1 rij meer: 10 rijen van 225/10 = 22.5 lampjes per rij.
Dat wil zeggen: 5 rijen met 23 lampjes en 5 rijen met 22 lampjes,
de rijen met 22 lampjes schuiven nu een halve dx op naar rechts:

Afbeelding

Lin
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 10 jan 2019, 14:18

Re: 225 lampjes in tempex plaat

Bericht door Lin » 12 jan 2019, 08:39

Fantastisch! Wat een mooi uitgebreid antwoord! Bedankt!

Lin
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 10 jan 2019, 14:18

Re: 225 lampjes in tempex plaat

Bericht door Lin » 12 jan 2019, 08:56

En bij die laatste variant wordt dan

Rx voor rij met 22 lampjes 4,8?
Rx voor rijs mer 23 lampjes 2,4?
Ry wordt?

Dy en dx blijven 4,8?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3136
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: 225 lampjes in tempex plaat

Bericht door arie » 14 jan 2019, 15:44

Afbeelding

Hier de afmetingen voor een zeshoekig rooster.

Horizontale afstand tussen de lampjes per rij = 5.2 cm
- de rijen met 23 lampjes beginnen (en eindigen) op 2.8 cm van de rand (2*2.8 + 22*5.2 = 120 cm)
- de rijen met 22 lampjes beginnen (en eindigen) op 2.8 + 5.2/2 = 5.4 cm van de rand (2*5.4 + 21*5.2 = 120 cm)

Verticale afstand tussen de rijen: 4.50 cm
Boven- en onder-marge: 4.75 cm
Totaal: 2*4.75 + 9*4.50 = 50 cm

De even en oneven rijen zitten in horizontale richting dus 5.2/2 = 2.6 cm verschoven ten opzichte van elkaar.
De verticale afstand is
\(5.2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} = 4.50333209...\)
of afgerond 4.50 cm.
Hierdoor krijgen we een roosterstructuur bestaande uit allemaal gelijkzijdige driehoeken: alle blauwe afstanden in de bovenstaande figuur zijn 5.2 cm.

Plaats reactie