Niet-congruente driehoeken.

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Niet-congruente driehoeken.

Bericht door Patrick1960 » 14 jan 2020, 18:23

Hoeveel niet-congruente driehoeken met gehele zijden en omtrek 2020 kan men construeren?

Mijn uitkomst is 85177.
Is dit juist?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1884
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door arno » 14 jan 2020, 18:32

Kun je eens laten zien hoe je aan je antwoord komt?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door Patrick1960 » 14 jan 2020, 19:25

De langste zijde = 1010 dan zijn de andere zijden gelijk aan (1009,1),(1008,2)....(505,505) er zijn dus 505 mogelijke driehoeken
Totaal aantal mogelijkheden is dan
S=505+504×168= 85177

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3345
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door arie » 14 jan 2020, 20:11

Patrick1960 schreef: De langste zijde = 1010 dan zijn de andere zijden gelijk aan (1009,1),(1008,2)....(505,505) er zijn dus 505 mogelijke driehoeken
(505, 505, 1010) is geen driehoek

Patrick1960 schreef: Totaal aantal mogelijkheden is dan S=505+504×168= 85177
Hoe kom je aan deze formule en de getallen daarin?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1884
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door arno » 14 jan 2020, 20:22

Als a, b en c de zijden van de driehoek zijn, dan is een zijde altijd groter dan de som van de 2 andere zijden. Je weet in ieder geval al dat a+b+c = 2020. Verder geldt dat a>b+c, b>a+c en c>a+b.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door Patrick1960 » 14 jan 2020, 20:49

Deze gegevens heb ik bekomen aan de hand van een soortgelijke opgave die ik vond op internet. Aan de hand daarvan heb ik deze proberen op te lossen. Blijkbaar was dat foute info. Helpen jullie mij verder?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3345
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door arie » 14 jan 2020, 22:25

Je methode werkt op zich wel:
Neem voor de driehoek \(c \ge b \ge a\).
Dan is de kleinste waarde van c = 674:
immers: als c = 673 dan kunnen b en a maximaal ook 673 zijn, en is de omtrek 3*673 = 2019 = te klein.
Voor c = 674 zijn er 2 mogelijkheden:
(674, 674, 672)
(674, 673, 673)
Voor c = 675 zijn er 3 mogelijkheden:
(675, 675, 670)
(675, 674, 671)
(675, 673, 672)
Voor c = 676 zijn er 5 mogelijkheden:
(676, 676, 668)
(676, 675, 669)
(676, 674, 670)
(676, 673, 671)
(676, 672, 672)
etc
Elke keer dat we c met 1 vermeerderen, kan b ook 1 groter worden en wordt a dus 2 kleiner.
Voor elke c vinden we paren (b, a), te beginnen met b=c, dan voor steeds kleinere b, doorgaand zolang b>=a.
Als c even is, dan kunnen we doorgaan totdat b = a,
is c oneven, dan kunnen we doorgaan totdat b = a+1.

De maximale waarde van c = 1009 (hierboven hadden we al gezien dat c=1010 geen driehoeken oplevert).
In dat geval lopen de driehoeken van (1009, 1009, 2) t/m (1009, 506, 505), dat zijn er 504.

De sommatie van al die aantallen driehoeken geeft dan het gevraagde totale aantal driehoeken:

2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + .... + 504

ofwel:

(0+1+2+3+4+....502+503+504) - (1+4+7+10+....+502)

ofwel

\(\displaystyle\sum_{i=0}^{504} i - \sum_{i=0}^{167} (3i+1)\)

Kan je de waarde hiervan bepalen?

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door Patrick1960 » 15 jan 2020, 06:58

Niet echt, nee. Maar met jouw uitleg lukt het misschien wel.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3345
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door arie » 15 jan 2020, 09:55

De formule die we voor deze sommaties nodig hebben is:

\(\displaystyle \sum_{i=1}^n i = \frac{1}{2}n(n+1)\)

(zie bv https://nl.wikipedia.org/wiki/Sommatie#Eindige_sommen)


Voorbeeld:
Voor n=5:

\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)

en ook:

\(\frac{1}{2}n(n+1) = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot (5+1) = 15\)

(merk op: het maakt voor deze sommatie niet uit of we met i=0 of i=1 beginnen: de som verandert niet als we er nul bij optellen)


Wat is dus

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{504}i = ...\)


De tweede som kunnen we splitsen:

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{167}(3i+1) = \sum_{i=0}^{167}3i +\sum_{i=0}^{167}1= 3 \times\sum_{i=0}^{167}i +\sum_{i=0}^{167}1\)

De laatste som is 1+1+...+1, met in totaal 168 enen (van 0 t/m 167), dat levert een totaal van 168.
De andere kunnen we bepalen met de standaardformule:

\(\displaystyle 3 \times\sum_{i=0}^{167}i = ...\)

Kom je hiermee verder?

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door Patrick1960 » 15 jan 2020, 10:58

Dus de eerste som is
1+2+3+4......+504
En de tweede
3×(1+2+3+4......+167)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3345
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door arie » 15 jan 2020, 12:12

Klopt.
En kan je met bovenstaande formule de uitkomst van die som bepalen?

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door Patrick1960 » 15 jan 2020, 12:21

Ik zal dat in Excel invoeren, als het dat is wat je bedoelt. Zal wal de twee sommen apart moeten ingeven.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3345
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door arie » 15 jan 2020, 12:35

Dat kan, maar met bovenstaande formules is het waarschijnlijk sneller:

Voor n = 504:

\(\frac{1}{2}\times 504 \times 505 = 127260\)

en voor n = 167:

\(\frac{1}{2}\times 167 \times 168 = 14028\)

Als het goed is komt Excel hier ook op uit.


Het totaal aantal driehoeken komt dus op 127260 - (3*14028 + 168) = 85008

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Niet-congruente driehoeken.

Bericht door Patrick1960 » 17 jan 2020, 07:10

Ook de berekening via Excel geeft dezelfde uitkomst maar is misschien niet de meest gebruikelijke. Hartelijk dank voor de hulp.
Nog veel succes en misschien tot nog eens.
Grts.

Plaats reactie