4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Hallo allemaal:)
Ik moet voor school (5VWO WiskundeB) een cirkel tussen 3 onderling rakende cirkels construeren op geogebra. Maar het moet met alleen passer en geo kunnen! 'Spoor aan' mag je dus niet gebruiken
Ik heb al gezocht op 'Raakprobleem van Apollonius'. Als je deze oplost krijg je 8 mogelijkheden. (Mijn eerste vraag hiermee: is een van deze cirkels de cirkel die ik zoek?) Ik ben er al mee aan de slag gegaan door de instructies onder het kopje 'Algemene oplossing van het probleem' op http://nl.wikipedia.org/wiki/Raakproble ... Apollonius te volgen, maar ik zit vast bij de zin: 'Deze gelijkvormigheidscentra liggen op vier lijnen'--> Mijn tweede vraag: Welke lijnen worden hier bedoeld?
Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen!
Lisa
Ik moet voor school (5VWO WiskundeB) een cirkel tussen 3 onderling rakende cirkels construeren op geogebra. Maar het moet met alleen passer en geo kunnen! 'Spoor aan' mag je dus niet gebruiken
Ik heb al gezocht op 'Raakprobleem van Apollonius'. Als je deze oplost krijg je 8 mogelijkheden. (Mijn eerste vraag hiermee: is een van deze cirkels de cirkel die ik zoek?) Ik ben er al mee aan de slag gegaan door de instructies onder het kopje 'Algemene oplossing van het probleem' op http://nl.wikipedia.org/wiki/Raakproble ... Apollonius te volgen, maar ik zit vast bij de zin: 'Deze gelijkvormigheidscentra liggen op vier lijnen'--> Mijn tweede vraag: Welke lijnen worden hier bedoeld?
Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen!
Lisa
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Jij hebt wel drie rakende cirkels ...
Heb je al een tekening daarvan?
Heb je al een tekening daarvan?
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Ja. De cirkels zijn: M_1=(0,0) en r_1=39; M_2=(52,0) en r_2=13 M_3=(40,9) en r_3=2
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Ik vind die wiki-pagina ook niet echt duidelijk.
Hier een grove schets van een constructie die me wel mogelijk lijkt:
Noem je 3 middelpunten A = (0, 0), B = (52, 0) en C = (40, 9).
Je cirkels worden dan
cirkel c met middelpunt A en straal 39
cirkel d met middelpunt B en straal 13
cirkel e met middelpunt C en straal 2
In een plaatje:
Noem nu D = het raakpunt van cirkel c en d.
Stel vervolgens D = het middelpunt van een denkbeeldige inversiecirkel f, die de cirkel e op zichzelf afbeeldt (het beeld e' van e is dus de cirkel e zelf).
Deze inversiecirkel f is in het plaatje rood gestreept getekend, ongeveer op de plaats waar die zal liggen.
Let wel: deze cirkel is denkbeeldig: we hoeven hem niet te tekenen, we gebruiken straks alleen enkele eigenschappen daarvan.
Omdat punt D op cirkel c ligt is het inversiebeeld c' van c een lijn.
Omdat punt D op cirkel d ligt is het inversiebeeld d' van d een lijn.
Kan je die lijnen construeren?
Waarom raken ze allebei cirkel e = e' ?
Kijk nu naar de groene cirkel die we zoeken: die cirkel raakt de cirkels c, d en e.
Stelling: het inversiebeeld van deze cirkel is ook een cirkel, de blauwe cirkel k met middelpunt G.
Kan je aantonen dat die blauwe cirkel de cirkel e' en de lijnen c' en d' raakt?
Kan je die cirkel construeren?
Kan je de raakpunten F en F' terug-inverteren?
Wat weet je dan van punten H en H' ?
Noem het snijpunt van de lijn j door A en H en de lijn l door B en H' het punt I.
Wat weet je nu van punt I?
Hier een grove schets van een constructie die me wel mogelijk lijkt:
Noem je 3 middelpunten A = (0, 0), B = (52, 0) en C = (40, 9).
Je cirkels worden dan
cirkel c met middelpunt A en straal 39
cirkel d met middelpunt B en straal 13
cirkel e met middelpunt C en straal 2
In een plaatje:
Noem nu D = het raakpunt van cirkel c en d.
Stel vervolgens D = het middelpunt van een denkbeeldige inversiecirkel f, die de cirkel e op zichzelf afbeeldt (het beeld e' van e is dus de cirkel e zelf).
Deze inversiecirkel f is in het plaatje rood gestreept getekend, ongeveer op de plaats waar die zal liggen.
Let wel: deze cirkel is denkbeeldig: we hoeven hem niet te tekenen, we gebruiken straks alleen enkele eigenschappen daarvan.
Omdat punt D op cirkel c ligt is het inversiebeeld c' van c een lijn.
Omdat punt D op cirkel d ligt is het inversiebeeld d' van d een lijn.
Kan je die lijnen construeren?
Waarom raken ze allebei cirkel e = e' ?
Kijk nu naar de groene cirkel die we zoeken: die cirkel raakt de cirkels c, d en e.
Stelling: het inversiebeeld van deze cirkel is ook een cirkel, de blauwe cirkel k met middelpunt G.
Kan je aantonen dat die blauwe cirkel de cirkel e' en de lijnen c' en d' raakt?
Kan je die cirkel construeren?
Kan je de raakpunten F en F' terug-inverteren?
Wat weet je dan van punten H en H' ?
Noem het snijpunt van de lijn j door A en H en de lijn l door B en H' het punt I.
Wat weet je nu van punt I?
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Ben je bezig met meetkundige plaatsen ...
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Super! Bedankt voor de info:)
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Alleen dat inversie, inversiecirkel en inversiebeeld snap ik nog niet. Wat is inversie precies?
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Inversie is een spiegeling, alleen nu niet in een lijn of punt, maar in een cirkel.
Zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Inversie_(meetkunde) t/m de tweede eigenschap op die pagina.
Ze hebben daar een (rode) inversiecirkel met middelpunt M (in het plaatje weergegeven als O, maar dat moet M zijn) en straal r.
Voor elk punt P zoeken we dan het spiegelbeeld punt Q.
Dat spiegelbeeld kan je vinden door de halve lijn te tekenen vanuit M door P.
Q ligt dan op die lijn, zodanig dat
ofwel
Voorbeeld:
Neem als inversiecirkel de cirkel met middelpunt M = (1,0) en straal r = 2.
Stel P = (10, 0), dan is MP = 9.
Q moet nu op de halve lijn van M naar P liggen, zodanig dat
Q ligt dus op de x-as, 4/9 rechts van M, dus Q = (1.4444..., 0)
Stel P zou het punt (2,0) zijn, kan je in dit geval zelf het beelpunt Q vinden?
Als je nu een complete figuur wil spiegelen in een cirkel, zoek je voor alle punten P op die figuur hun beeldpunt Q. Al die punten Q vormen dan samen het inversiebeeld van je oorspronkelijke figuur.
GeoGebra:
De inversie zit ook ingebouwd in GeoGebra:
Teken bijvoorbeeld de cirkel c met middelpunt A=(1,0) en straal 2, kleur deze rood.
Teken dan een cirkel d met middelpunt B=(6,0) en straal 4, kleur deze blauw.
Dan zie je onder het menu spiegelingen (lijnspiegelingen, puntspiegelingen, ....) ook de mogelijkheid "inversie van punt". Je kan hiermee niet alleen een punt inverteren, maar ook elk ander object in GeoGebra, bijvoorbeeld cirkel d inverteren in cirkel c.
Kies daarvoor na de knop "inversie van punt" eerst cirkel d, dan cirkel c.
Je ziet dan het beeld van d als cirkel d', kleur die cirkel d' groen.
Als het goed is heb je nu een figuur die lijkt op het eerste plaatje van bovenstaande wiki-pagina.
Verander vervolgens punt B eens, en kijk wat er met het beeld d' gebeurt.
Geef B in ieder geval ook eens de coördinaten
(8, 0)
(7, 0)
(5, 0)
(4, 0)
(3, 0)
(2, 0)
en
(1, 0)
Zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Inversie_(meetkunde) t/m de tweede eigenschap op die pagina.
Ze hebben daar een (rode) inversiecirkel met middelpunt M (in het plaatje weergegeven als O, maar dat moet M zijn) en straal r.
Voor elk punt P zoeken we dan het spiegelbeeld punt Q.
Dat spiegelbeeld kan je vinden door de halve lijn te tekenen vanuit M door P.
Q ligt dan op die lijn, zodanig dat
ofwel
Voorbeeld:
Neem als inversiecirkel de cirkel met middelpunt M = (1,0) en straal r = 2.
Stel P = (10, 0), dan is MP = 9.
Q moet nu op de halve lijn van M naar P liggen, zodanig dat
Q ligt dus op de x-as, 4/9 rechts van M, dus Q = (1.4444..., 0)
Stel P zou het punt (2,0) zijn, kan je in dit geval zelf het beelpunt Q vinden?
Als je nu een complete figuur wil spiegelen in een cirkel, zoek je voor alle punten P op die figuur hun beeldpunt Q. Al die punten Q vormen dan samen het inversiebeeld van je oorspronkelijke figuur.
GeoGebra:
De inversie zit ook ingebouwd in GeoGebra:
Teken bijvoorbeeld de cirkel c met middelpunt A=(1,0) en straal 2, kleur deze rood.
Teken dan een cirkel d met middelpunt B=(6,0) en straal 4, kleur deze blauw.
Dan zie je onder het menu spiegelingen (lijnspiegelingen, puntspiegelingen, ....) ook de mogelijkheid "inversie van punt". Je kan hiermee niet alleen een punt inverteren, maar ook elk ander object in GeoGebra, bijvoorbeeld cirkel d inverteren in cirkel c.
Kies daarvoor na de knop "inversie van punt" eerst cirkel d, dan cirkel c.
Je ziet dan het beeld van d als cirkel d', kleur die cirkel d' groen.
Als het goed is heb je nu een figuur die lijkt op het eerste plaatje van bovenstaande wiki-pagina.
Verander vervolgens punt B eens, en kijk wat er met het beeld d' gebeurt.
Geef B in ieder geval ook eens de coördinaten
(8, 0)
(7, 0)
(5, 0)
(4, 0)
(3, 0)
(2, 0)
en
(1, 0)
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Daarom vroeg ik je wat ik vroeg (maar dat is niet belangrijk?) ...Lisa2 schreef:Alleen dat inversie, inversiecirkel en inversiebeeld snap ik nog niet. Wat is inversie precies?
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Ik snapte niet echt wat je toen bedoelde.SafeX schreef:Daarom vroeg ik je wat ik vroeg (maar dat is niet belangrijk?) ...Lisa2 schreef:Alleen dat inversie, inversiecirkel en inversiebeeld snap ik nog niet. Wat is inversie precies?
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Dat had je kunnen aangeven ...
Meetkundige plaatsen (samenhangend met Voronoi-diagrammen) zijn onderdeel van wiskunde D. Inversies niet!
Meetkundige plaatsen (samenhangend met Voronoi-diagrammen) zijn onderdeel van wiskunde D. Inversies niet!
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Nog 1 vraagje:
hoe kun je die inversiecirkel f construeren?
hoe kun je die inversiecirkel f construeren?
Re: 4de cirkel tussen 3 rakende cirkels construeren
Zoals eerder gezegd: de exacte locatie (of straal) van de inversiecirkel f heb je niet nodig voor je constructie.
Maar als je hem toch wilt hebben:
Cirkel d snijdt de de inversiecirkel, zeg in punt P.
Omdat P op d ligt, moet er een inversiepunt P' bestaan op d'.
Maar omdat P ook op de inversiecirkel ligt is P' = P.
Lukt het je hiermee om inversiecirkel f te tekenen?
Maar als je hem toch wilt hebben:
Cirkel d snijdt de de inversiecirkel, zeg in punt P.
Omdat P op d ligt, moet er een inversiepunt P' bestaan op d'.
Maar omdat P ook op de inversiecirkel ligt is P' = P.
Lukt het je hiermee om inversiecirkel f te tekenen?