cirkels, raaklijnen en verhoudingen
cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Hallo,
Ik probeer het volgende in formulevorm te krijgen, maar raak door de bomen steeds het bos kwijt. Ik zou het zeer op prijs stellen als iemand mij al op weg weet te helpen.
Gegeven twee niet rakende cirkels a en b met middelpunten Ma en Mb en stralen Ra en Rb, waarvoor geldt Ra > Rb.
Ik kan vier raaklijnen tekenen die zowel a als b raken.
Het punt waar twee raaklijnen snijden op de lijn van de middelpunten van de cirkels noem ik F en F'
Nu geldt: Ra:Rb als MaF:MbF.
Maw de stralen van cirkels A en B verhouden zich als hun middelpunt tot F.
Dat snap ik nog en kan ik afleiden.
Mijn gevoel zegt dat Ra:Rb=MaF':MbF' ook klopt en als ik het construeer lijkt het te kloppen.
Waar een raaklijn aan cirkel A door F gaat noem ik dat raakpunt L, waar hij cirkel B raakt noem ik het P.
De punten van de andere raaklijn door F noem ik L' en P'.
De punten van de raaklijnen van cirkels A en B die elkaar in F' kruisen noem ik Q en R (met hun beelden Q' en R'
En nu ga ik het bos in ...
Hoe verhouden de lijnstukken LL' en PP' en QQ'en RR' zich ten opzichte van de stralen?
Geeft die formule ook antwoord voor rakende, overlappende, ingesloten en gelijke cirkels?
Ik ben bang dat ik niet zo goed heb opgelet tijdens meetkunde, ettelijke jaren geleden, goniometrie was mijn forté. Maar, ontkom ik echt niet aan sinussen en cosinussen?
Iets zegt me dat dit gewoon Pythagoreaanse meetkunde behelst.
Afijn, hulp gezocht alsjeblieft, om die verhoudingen te vinden.
Dank.
Ik probeer het volgende in formulevorm te krijgen, maar raak door de bomen steeds het bos kwijt. Ik zou het zeer op prijs stellen als iemand mij al op weg weet te helpen.
Gegeven twee niet rakende cirkels a en b met middelpunten Ma en Mb en stralen Ra en Rb, waarvoor geldt Ra > Rb.
Ik kan vier raaklijnen tekenen die zowel a als b raken.
Het punt waar twee raaklijnen snijden op de lijn van de middelpunten van de cirkels noem ik F en F'
Nu geldt: Ra:Rb als MaF:MbF.
Maw de stralen van cirkels A en B verhouden zich als hun middelpunt tot F.
Dat snap ik nog en kan ik afleiden.
Mijn gevoel zegt dat Ra:Rb=MaF':MbF' ook klopt en als ik het construeer lijkt het te kloppen.
Waar een raaklijn aan cirkel A door F gaat noem ik dat raakpunt L, waar hij cirkel B raakt noem ik het P.
De punten van de andere raaklijn door F noem ik L' en P'.
De punten van de raaklijnen van cirkels A en B die elkaar in F' kruisen noem ik Q en R (met hun beelden Q' en R'
En nu ga ik het bos in ...
Hoe verhouden de lijnstukken LL' en PP' en QQ'en RR' zich ten opzichte van de stralen?
Geeft die formule ook antwoord voor rakende, overlappende, ingesloten en gelijke cirkels?
Ik ben bang dat ik niet zo goed heb opgelet tijdens meetkunde, ettelijke jaren geleden, goniometrie was mijn forté. Maar, ontkom ik echt niet aan sinussen en cosinussen?
Iets zegt me dat dit gewoon Pythagoreaanse meetkunde behelst.
Afijn, hulp gezocht alsjeblieft, om die verhoudingen te vinden.
Dank.
Re: cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Waar liggen F en F' tov de cirkels?
Re: cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Op de lijn die door de middelpunten van de cirkels getrokken kan worden.SafeX schreef:Waar liggen F en F' tov de cirkels?
F ligt dan tussen de cirkels en F' erachter (mits Ra > Rb)
Re: cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Bekijk de driehoeken FLMa en FPMb, deze zijn gelijkvormig (waarom?, wat volgt dan?
Idem F'QMa en F'RMb
Idem F'QMa en F'RMb
Re: cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Omdat de afstanden MaL:MbP zich verhouden als MaF:MbF en dus als Ra:Rb?SafeX schreef:Bekijk de driehoeken FLMa en FPMb, deze zijn gelijkvormig (waarom?, wat volgt dan?
Idem F'QMa en F'RMb
Houdt dat dus in dat de hoogtelijnen van FLMa en FPMb zich ook verhouden als Ra:Rb?
(en dus automatisch LL' en PP' ook)
Dan de vervolgvraag, is de oppervlakteverhouding van de driehoeken LL'F en PP'F lineair met Ra:Rb?
Re: cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Natuurlijk niet! Ga dat aan het vb van twee gelijkvormige rechthoeken waarvan de overeenkomstige zijden zich verhouden als 1:2.memeticae schreef: Dan de vervolgvraag, is de oppervlakteverhouding van de driehoeken LL'F en PP'F lineair met Ra:Rb?
Re: cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Ja, natuurlijk!
Dankjewel.
Maar hoe hangt dat af van de straal van de cirkels en/of van hun onderlinge afstand?
Maar ik snap nu mijn vraag beter...
Als ik van de cirkels bollen maak hoe verhouden de kegels LL'F en PP'F zich dan.
Kwadratisch of "derdemachtig"? (tov Ra:Rb en hoe ten opzichte van hun afstand? MaMb)
Wat als ik er 4D-bollen van maak? Dan is F een bol geworden.
Hoe verhouden de stralen van Ra en Rb zich dan ten opzichte van RF (de straal van F)
Nog steeds hetzelfde? Geldt de omgekeerde kwadratenwet ook voor (hyper)complexe getallen?
Vragen, vragen.
Overigens proef ik dat wijsheid hier zelfgevonden moet worden, het wordt niet uitgedeeld.
Jammer, dat betekent dat iedereen opnieuw moet beginnen.
Immers, een vraag beantwoorden met een wedervraag getuigt zowel van oneindige als geen wijsheid. Waarmee ik maar wil beweren dat het puntensysteem klopt.
Een mogelijk antwoord had kunnen zijn: waar wil je heen met je vraag?
Maar goed, zoals mijn wiskundeleraar van 2 atheneum placht te zeggen, één zwaluw maakt nog geen zomer.
Dankjewel voor je hulp en neem me niet kwalijk dat ik elders ga toetsen.
MeaCulpaMeaMaximaCulpa
Dankjewel.
Maar hoe hangt dat af van de straal van de cirkels en/of van hun onderlinge afstand?
Maar ik snap nu mijn vraag beter...
Als ik van de cirkels bollen maak hoe verhouden de kegels LL'F en PP'F zich dan.
Kwadratisch of "derdemachtig"? (tov Ra:Rb en hoe ten opzichte van hun afstand? MaMb)
Wat als ik er 4D-bollen van maak? Dan is F een bol geworden.
Hoe verhouden de stralen van Ra en Rb zich dan ten opzichte van RF (de straal van F)
Nog steeds hetzelfde? Geldt de omgekeerde kwadratenwet ook voor (hyper)complexe getallen?
Vragen, vragen.
Overigens proef ik dat wijsheid hier zelfgevonden moet worden, het wordt niet uitgedeeld.
Jammer, dat betekent dat iedereen opnieuw moet beginnen.
Immers, een vraag beantwoorden met een wedervraag getuigt zowel van oneindige als geen wijsheid. Waarmee ik maar wil beweren dat het puntensysteem klopt.
Een mogelijk antwoord had kunnen zijn: waar wil je heen met je vraag?
Maar goed, zoals mijn wiskundeleraar van 2 atheneum placht te zeggen, één zwaluw maakt nog geen zomer.
Dankjewel voor je hulp en neem me niet kwalijk dat ik elders ga toetsen.
MeaCulpaMeaMaximaCulpa
Re: cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Wat wil je precies bepalen ...memeticae schreef: Maar hoe hangt dat af van de straal van de cirkels en/of van hun onderlinge afstand?
Als je de inhoud bedoelt is de verhouding (LL'/PP')^3Als ik van de cirkels bollen maak hoe verhouden de kegels LL'F en PP'F zich dan.
Kwadratisch of "derdemachtig"? (tov Ra:Rb en hoe ten opzichte van hun afstand? MaMb)
Een punt kan geen bol worden ...Wat als ik er 4D-bollen van maak? Dan is F een bol geworden.
Hoe verhouden de stralen van Ra en Rb zich dan ten opzichte van RF (de straal van F)
Nog steeds hetzelfde? Geldt de omgekeerde kwadratenwet ook voor (hyper)complexe getallen?
Verder kan je hier wel wat op internet vinden.
Dit begrijp ik niet. Wat bedoel je met wijsheid?Overigens proef ik dat wijsheid hier zelfgevonden moet worden, het wordt niet uitgedeeld.
Jammer, dat betekent dat iedereen opnieuw moet beginnen.
We zijn hier niet met filosofie bezig. Geef een concreet vb.
Dit ben ik me niet bewust. Met een vraag die ik stel probeer ik je 'op een spoor' te zetten.Immers, een vraag beantwoorden met een wedervraag
Geef een vb waarbij dit niet klopt!
Dit is een goede ... , dat was nog niet in me opgekomen!Een mogelijk antwoord had kunnen zijn: waar wil je heen met je vraag?
Prima! Laat wat weten als je iets gevonden hebt ... , daar kunnen we allemaal van leren.Dankjewel voor je hulp en neem me niet kwalijk dat ik elders ga toetsen.
Re: cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Waarom kan een punt, anders dan de oorsprong, geen bol worden?
Als ik integreer komt er toch een constante bij?
c, primitieve cx+c, primitieve 1/2cx^2+xc + c, primitieve 1/3cx^3 + 1/2cx^2 + cx -> etc ...
Als ik drie keer integreer is mijn initiële constante toch driedimensionaal geworden?
Met andere woorden, ik heb minimaal drie coördinaten nodig om mijn uitgangspunt c te benoemen.
alle punten op een bol met straal 1 geven 1 als antwoord voor x^2+y^2+z^2=1 toch?
Of heb ik nu het begrip "punt" opgeblazen?
Als ik integreer komt er toch een constante bij?
c, primitieve cx+c, primitieve 1/2cx^2+xc + c, primitieve 1/3cx^3 + 1/2cx^2 + cx -> etc ...
Als ik drie keer integreer is mijn initiële constante toch driedimensionaal geworden?
Met andere woorden, ik heb minimaal drie coördinaten nodig om mijn uitgangspunt c te benoemen.
alle punten op een bol met straal 1 geven 1 als antwoord voor x^2+y^2+z^2=1 toch?
Of heb ik nu het begrip "punt" opgeblazen?
Re: cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Waar ben je mee bezig ... , een punt is een punt (in R^3), daar kan je geen bol van maken!memeticae schreef:Waarom kan een punt, anders dan de oorsprong, geen bol worden?
Re: cirkels, raaklijnen en verhoudingen
Je hebt gelijk, volkomen gelijk, door me niet te begrijpen.
Ik was iets vergeten in mijn vraag, namelijk de notie van ruis te noemen. En dat kon jij natuurlijk niet weten. Dus vergeef me, door die omissie mijn eigen onbegrip, en de reaktie erop.
Vraag me niet waarom het ruist, dat doet het nu eenmaal. Misschien ligt het aan de cirkels, misschien aan mijn meetmethodes, misschien wel aan de natuur van e of pi. Ik weet het niet, dat is ook niet zo belangrijk. Feit is slechts, dat het ruist.
Bij mij althans.
Ik teken een oorsprongslijn en haaks erop twee lijnen, AB en CD zodanig dat de lijnen door de oorsprongslijn gehalveerd worden.
A C
+ +
B D
Zoiets.
Nu teken ik een lijn AD en BC, die elkaar kruisen in een punt dat ik F noem. Vervolgens pas ik de lengtes van AB en CD aan, wat ik zie is dat het kruispunt F een lijn vormt, op de oorsprongslijn.
De lengtes van mijn lijnen fluctueren rond het laatste significante getal van hun gemeten lengte. Ieder afzonderlijk.
Ieder keer als ik meet, of teken, ligt mijn punt F op een andere waarde op die lijn. Slechts als ik mijn meetinstrumenten idealiseer, kom ik op een punt uit.
Nou doe ik hetzelfde experiment met cirkels. Net zoals in mijn eerste bericht, teken ik een oorsprongslijn en daarop twee niet rakende cirkels, A en B, met als middelpunt een punt op de oorsprongslijn.
De raaklijnen heb ik al benoemd, evenals punt F.
Nu ga ik de stralen laten "ruisen", binnen welke grenzen, of beter gezegd: wat is nu het bereik van F?
Eveneens verschuift het punt F, in een rechte lijn van links naar rechts. Althans, op de tekentafel. De significantie van mijn meetmethode staat me toe de grenzen te noemen binnen welke F moet liggen.
Nu worden mijn cirkels bollen, ik voeg een oorsprongslijn toe. Lastiger te tekenen, dus gaan we al de voorstelling in.
Heb ik dan gelijk als ik vermoed dat als de stralen van de bollen "ruisen", het punt F binnen de grenzen van een cirkel kan liggen?
Geldt dan voor 4D bollen, dat mijn punt F zich ergens in een bol bevindt?
Of meer algemeen, geldt voor N-dimensionale eenheidsvormen, dat hun punt F in een (N-1)dimensionale vorm kan liggen?
(Maar zoals je reeds, naar waarheid opmerkte, nog steeds een punt is.)
Mocht mijn vermoeden inderdaad wiskundig juist zijn, dan wil ik graag weten hoe de verhoudingen zijn tussen de driehoeken waarmee ik begon, en hun meerdimensionale broertjes. En dan zowel qua oppervlak als volume, of in het geval van de cirkels, omtrek en oppervlak. (Rijst me opeens een nieuwe vraag: Heeft een bol wel een omtrek? Of is dat gelijk zijn oppervlakte? En hoe zit dat met lijnen?)
Dus om mijn oorspronkelijk vraag te herformuleren:
(Zie mijn oorspronkelijk post)
Hoe Verhouden de driehoeken LL'F en PP'F zich ten opzichte van Ra en Rb,
Hoe verhouden de cirkeldoorsnedes LL' en PP' zich ten opzichte van Ra en Rb,
Hoe verhouden de polygonen LL'F en PP'F zich (waarbij LL' en PP'de lengte van hun respectievelijke cirkelbogen voorstellen)
Ik hoop dat je kunt helpen, eenvoudigweg door het uit te leggen en me niet zelf te laten gissen, hoe goed ik je bedoeling ook begrijp.
Helaas ontbreken mij de wiskundespieren, misschien heb ik ze niet goed getrained, misschien zijn ze niet geschikt voor dit soort wiskunde, niettemin zoek ik toch de antwoorden. En daarbij heb ik simpelweg jou hulp nodig.
Maar je ziet zelf dat ik al ruim een jaar ben bezig geweest, alvorens je hulp weer in te roepen.
Je antwoord mag eventueel ook via PM of email, als je ervoor wilt waken antwoorden op een (eventuele) olympiadevraag te geven.
Ik was iets vergeten in mijn vraag, namelijk de notie van ruis te noemen. En dat kon jij natuurlijk niet weten. Dus vergeef me, door die omissie mijn eigen onbegrip, en de reaktie erop.
Vraag me niet waarom het ruist, dat doet het nu eenmaal. Misschien ligt het aan de cirkels, misschien aan mijn meetmethodes, misschien wel aan de natuur van e of pi. Ik weet het niet, dat is ook niet zo belangrijk. Feit is slechts, dat het ruist.
Bij mij althans.
Ik teken een oorsprongslijn en haaks erop twee lijnen, AB en CD zodanig dat de lijnen door de oorsprongslijn gehalveerd worden.
A C
+ +
B D
Zoiets.
Nu teken ik een lijn AD en BC, die elkaar kruisen in een punt dat ik F noem. Vervolgens pas ik de lengtes van AB en CD aan, wat ik zie is dat het kruispunt F een lijn vormt, op de oorsprongslijn.
De lengtes van mijn lijnen fluctueren rond het laatste significante getal van hun gemeten lengte. Ieder afzonderlijk.
Ieder keer als ik meet, of teken, ligt mijn punt F op een andere waarde op die lijn. Slechts als ik mijn meetinstrumenten idealiseer, kom ik op een punt uit.
Nou doe ik hetzelfde experiment met cirkels. Net zoals in mijn eerste bericht, teken ik een oorsprongslijn en daarop twee niet rakende cirkels, A en B, met als middelpunt een punt op de oorsprongslijn.
De raaklijnen heb ik al benoemd, evenals punt F.
Nu ga ik de stralen laten "ruisen", binnen welke grenzen, of beter gezegd: wat is nu het bereik van F?
Eveneens verschuift het punt F, in een rechte lijn van links naar rechts. Althans, op de tekentafel. De significantie van mijn meetmethode staat me toe de grenzen te noemen binnen welke F moet liggen.
Nu worden mijn cirkels bollen, ik voeg een oorsprongslijn toe. Lastiger te tekenen, dus gaan we al de voorstelling in.
Heb ik dan gelijk als ik vermoed dat als de stralen van de bollen "ruisen", het punt F binnen de grenzen van een cirkel kan liggen?
Geldt dan voor 4D bollen, dat mijn punt F zich ergens in een bol bevindt?
Of meer algemeen, geldt voor N-dimensionale eenheidsvormen, dat hun punt F in een (N-1)dimensionale vorm kan liggen?
(Maar zoals je reeds, naar waarheid opmerkte, nog steeds een punt is.)
Mocht mijn vermoeden inderdaad wiskundig juist zijn, dan wil ik graag weten hoe de verhoudingen zijn tussen de driehoeken waarmee ik begon, en hun meerdimensionale broertjes. En dan zowel qua oppervlak als volume, of in het geval van de cirkels, omtrek en oppervlak. (Rijst me opeens een nieuwe vraag: Heeft een bol wel een omtrek? Of is dat gelijk zijn oppervlakte? En hoe zit dat met lijnen?)
Dus om mijn oorspronkelijk vraag te herformuleren:
(Zie mijn oorspronkelijk post)
Hoe Verhouden de driehoeken LL'F en PP'F zich ten opzichte van Ra en Rb,
Hoe verhouden de cirkeldoorsnedes LL' en PP' zich ten opzichte van Ra en Rb,
Hoe verhouden de polygonen LL'F en PP'F zich (waarbij LL' en PP'de lengte van hun respectievelijke cirkelbogen voorstellen)
Ik hoop dat je kunt helpen, eenvoudigweg door het uit te leggen en me niet zelf te laten gissen, hoe goed ik je bedoeling ook begrijp.
Helaas ontbreken mij de wiskundespieren, misschien heb ik ze niet goed getrained, misschien zijn ze niet geschikt voor dit soort wiskunde, niettemin zoek ik toch de antwoorden. En daarbij heb ik simpelweg jou hulp nodig.
Maar je ziet zelf dat ik al ruim een jaar ben bezig geweest, alvorens je hulp weer in te roepen.
Je antwoord mag eventueel ook via PM of email, als je ervoor wilt waken antwoorden op een (eventuele) olympiadevraag te geven.