Raadsel

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
FanMaths
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 03 okt 2014, 17:35

Raadsel

Bericht door FanMaths » 03 okt 2014, 17:43

Hallo,


Ik heb een probleem waar ik geen oplossing aan kan vinden. Zou iemand mij kunnen helpen?

Ik heb een kubus van 10*10*10 en ik moet 250 balken van 4*1*1 erin plaatsen (we mogen de balken niet knippen).
De vragen zijn: Is het mogelijk of niet? Als het mogelijk is geef een voorbeeld, als het niet mogelijk is, bewijs het.

alvast bedankt voor uw antwoord.

Gebruikersavatar
Ilona
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 100
Lid geworden op: 13 sep 2013, 11:33

Re: Raadsel

Bericht door Ilona » 03 okt 2014, 18:34

Het eerste wat in me op kwam was of het volume van de kubus groot genoeg zou zijn. Dat is dus wel zo, beide met een volume van 1000 (iets, geen idee of het in cm is, maar dat maakt niet uit). Leuk raadsel om vanavond even over na te denken, want ik heb wel enig idee, even kijken of het klopt!

Gebruikersavatar
Ilona
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 100
Lid geworden op: 13 sep 2013, 11:33

Re: Raadsel

Bericht door Ilona » 03 okt 2014, 18:41

Even hardop denken: je hebt een grondvlak van 10x10. Omdat balken 4x1x1 zijn, kan je dus in de lengte twee balken leggen en 10 naast elkaar, en 10 omhoog. Dat zijn 200 balken.

Je hebt dan nog een ruimte vrij van 2x10x10, met 2x10 als grondvlak

In die 2x10 kan je weer 2 balken in de breedte leggen, 2 naast elkaar en 10 hoog. Dat is dus 40 balken.

Dan houd je nog een stukje over van 2x2x10.... Dan zou je daarin dus nog 10 balken kwijt moeten kunnen. En volgens mij gaat dat niet helemaal passen. 8 kan ik er nog kwijt, maar dan houd ik 2x2x2 over, als ik het goed zie en daar passen dus alleen halve balken in.

Maar misschien kan het hardop denken iemand weer helpen.

FanMaths
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 03 okt 2014, 17:35

Re: Raadsel

Bericht door FanMaths » 03 okt 2014, 22:29

Dank je wel Ibrink voor je antwoorden, maar daar was ik ook al aan gekomen. En mijn probleem is nu om aan te tonen dat de manier die je gebruikt om de kubus op te vullen de efficiënste manier is om die op te vullen. En daar weet ik niet hoe ik eraan moet beginnen.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Raadsel

Bericht door wnvl » 03 okt 2014, 23:50

Ik zoek "toevallig" naar de oplossing van hetzelfde probleem.

Mogelijk kan het theorema van de Bruijn over harmonische bakstenen helpen.

http://en.wikipedia.org/wiki/De_Bruijn's_theorem

Maar ik ben niet zeker of e bakstenen van 1*1*4 als harmonisch kunnen beschouwen. Ik weet niet hoe het zit met die 1'en en heb geen toegang tot een paper met een gedetaileerde uitleg betreffende dit theorema.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Raadsel

Bericht door arie » 04 okt 2014, 08:31

Hint:
Kijk eens naar de functie f(x, y, z) = (x + y + z) mod 4
Hoe vaak levert f(x, y, z) 0, 1, 2 resp. 3 op in een 10 x 10 x 10 kubus?

FanMaths
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 03 okt 2014, 17:35

Re: Raadsel

Bericht door FanMaths » 04 okt 2014, 12:53

Ik heb de oplossing zelf gevonden en het is oplosbaar met kleurentechnieken (Rood, Blauw, Groen, Oranje) als je in een kubus van 4*4*4 ervoor zorgt dat elk balk nooit twee keer op dezelfde kleur gaat staan.
Als je dan zal invullen, zal je op het einde uitkomen met een kubus van 2*2*2 met vier keer dezelfde kleur, 2 keer twee verschillende kleuren en een kleur zal niet voorkomen. Dus kan je zo aantonen dat je geen balken er meer kan insteken. :D

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Raadsel

Bericht door arie » 04 okt 2014, 13:17

Hoe kleur je je 4x4x4 kubus precies?

FanMaths
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 03 okt 2014, 17:35

Re: Raadsel

Bericht door FanMaths » 04 okt 2014, 14:17

Oranje = O
Groen = G
Paars = P
Rood = R
Vlak 1: OGPR
ROGP
PROG
GPRO
Vlak 2: GORP
ORPG
RPGO
PGOR
Vlak 3: PROG
GPRO
OGPR
ROGP
Vlak 4: RPGO
PGOR
GORP
ORPG
De vlakken zijn er om de diepte aan te tonen in de kubus.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Raadsel

Bericht door arie » 05 okt 2014, 09:44

Hoe kom je aan die kleuring?
Zou onderstaande kleuring ook mogelijk zijn, en wat was in dat geval je conclusie?

O P G R
G R P O
P O R G
R G O P

G O R P
R P O G
O G P R
P R G O

R G P O
P O G R
G R O P
O P R G

P R O G
O G R P
R P G O
G O P R

FanMaths
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 03 okt 2014, 17:35

Re: Raadsel

Bericht door FanMaths » 05 okt 2014, 11:36

Die kleuring zou ook goed kunnen zijn, en dan zou je eigenlijk bij de opvulling van de kubus alles een naar boven en een naar links moeten opschuiven. Maar met mijn opkleurin als ik het een naar beneden en een naar rechts zou laten opschuiven, zou ik ook in de problemen geraken omdat ik ook met twee van elke kleur zou eindigen. Dus weet ik niet of mijn bewijs helemaal correct is of niet.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Raadsel

Bericht door arie » 05 okt 2014, 11:57

Het probleem is dat we hier een 2x2x2 kubus overhouden die we kunnen inkleuren zodanig dat alle kleuren even vaak voorkomen (per kleur 2 delen). Daarop lopen we vast.

Kijk nog eens naar mijn hint hierboven.
Ben je bekend met deling met rest en modulo rekenen?
(ik bedoel dan dit: http://nl.wikipedia.org/wiki/Geheeltallige_deling)

FanMaths
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 03 okt 2014, 17:35

Re: Raadsel

Bericht door FanMaths » 05 okt 2014, 12:12

Eigenlijk maakte ik het veel te moeilijk door 4 kleuren te gebruiken. We kunnen ook gewoon kubussen van 2*2*2 nemen die zwart en wit zijn. De balken zullen zo altijd op een zwarte en een witte terechtkomen en op het einde zullen we een witte of een zwarte kubus van 2*2*2 overhouden.
WWZZWWZZWW
ZZWWZZWWZZ
WWZZWWZZWW
ZZWWZZWWZZ
WWZZWWZZWW
ZZWWZZWWZZ
WWZZWWZZWW
ZZWWZZWWZZ
WWZZWWZZWW
ZZWWZZWWZZ.
Vlak twee zal juist hetzelfde zijn, vlakken drie en vier het omgekeerde, vlakken vijf en zes hetzelfde, vlaken zeven en acht omgekeerde en vlakken negen en tien hetzelfde.

Maar ik begrijp niet wat je met je functie wilt doen

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Raadsel

Bericht door arie » 06 okt 2014, 15:57

Kijk eerst naar de kubus 2x2x2 startend vanuit (0, 0, 0).
f(0, 0, 0) = (0 + 0 + 0) mod 4 = 0
f(1, 0, 0) = f(0, 1, 0) = f(0, 0, 1) = 1 mod 4 = 1
f(1, 1, 0) = f(1, 0, 1) = f(0, 1, 1) = 2 mod 4 = 2
f(1, 1, 1) = 3 mod 4 = 3

(dit zijn cijfers, maar die kan je ook vertalen naar 4 kleuren)

De 2x2x2 kubus bestaat dus uit 8 eenheidskubussen, waarvan
1 de kleur 0 heeft,
3 de kleur 1 hebben,
3 de kleur 2 hebben, en
1 de kleur 3 heeft.

Elke balk van 1x1x4 zal met deze functie precies 1 eenheidskubus van elke kleur bevatten, in welke richting je hem ook in de ruimte plaatst.
Voorbeeld:
Stel we plaatsen die balk met de lengterichting parallel aan de x-as:
dan hebben we een eenheidskubus van
(x0, y0, z0) waarbij f(x0, y0, z0) = (x0 + y0 + z0 + 0) mod 4
(x0 + 1, y0, z0) waarbij f(x0, y0, z0) = (x0 + y0 + z0 + 1) mod 4
(x0 + 2, y0, z0) waarbij f(x0, y0, z0) = (x0 + y0 + z0 + 2) mod 4
(x0 + 3, y0, z0) waarbij f(x0, y0, z0) = (x0 + y0 + z0 + 3) mod 4
Dus welke waarde voor x0, y0 en z0 je ook kiest (= waar je je balk ook legt):
je hebt altijd precies 1 exemplaar van elk van de 4 kleuren (= we hebben hier alle restklassen mod 4)
Evenzo voor y- en z-richting.

Elke grotere balk waarvan minstens 1 zijde lengte 4 heeft, kan je opgebouwd denken uit een aantal 1x1x4 balken.
Elke balk waarvan 1 zijde lengte 4 heeft heeft dus van elke kleur hetzelfde aantal.

De 10x10x10 kubus kon je opgebouwd denken uit 1x1x4 balken, waarna je de 2x2x2 kubus overhoudt.
De 10x10x10 kubus waaruit weggelaten de 2x2x2 kubus heeft dus van elke kleur hetzelfde aantal.
Omdat de 2x2x2 kubus NIET hetzelfde aantal exemplaren heeft (zie hierboven), heeft de 10x10x10 kubus dat ook niet.
En omdat de 10x10x10 kubus niet van alle kleuren hetzelfde aantal heeft, zullen we hem nooit kunnen vullen met 1x1x4 balken.

Plaats reactie