Kansontwikkeling lootjes trekken

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.

Kansontwikkeling lootjes trekken

Berichtdoor Ries » 09 Nov 2014, 10:38

Gister hebben we met 15 personen lootjes getrokken voor sinterklaas. De kans dat de eerste zichzelf trekt is 1:15.
Hoe ontwikkelt de kans zich echter dat een van de volgende trekkers zichzelf trekt? Blijft die even groot, of verandert hij en zo ja, volgens welke formule?
Ries
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 1
Geregistreerd: 09 Nov 2014, 10:31

Re: Kansontwikkeling lootjes trekken

Berichtdoor arie » 09 Nov 2014, 13:01

Je vraag gaat over derangementen, zie bv http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement.
In termen van jouw probleem:
Een derangement is een verdeling van n lootjes over n personen, zodanig dat iedereen 1 lootje heeft maar niemand zijn eigen lootje heeft.
Dit aantal wordt weergegeven door !n, een uitroepteken voor de n.

Dit is wat anders dan het aantal permutaties = n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1.
Het aantal permutaties is het totaal aantal mogelijkheden om n lootjes te verdelen over n personen (weer 1 lootje per persoon):
voor de eerste heb je keuze uit n, voor de tweede keuze uit (n-1), voor de derde uit (n-2), etc.

Terug naar de derangementen: deze kan je bepalen via de volgende vergelijking (zie de wiki pagina):
!n = (n-1) * (!(n-1) + !(n-2))
Als je lootjes trekt met 1 persoon (alleen voor jezelf), zal je altijd je eigen lootje trekken: !1 = 0.
Als je lootjes trekt met 2 personen zijn er 2 mogelijkheden: ieder trekt zijn eigen lootje OF ieder trekt het lootje van de ander: !2 = 1
Nu kunnen we de formule gaan toepassen:
!3 = (3-1) * (!(3-1) + !(3-2)) = 2 * (!2 + !1) = 2 * (1 + 0) = 2
!4 = (4-1) * (!(4-1) + !(4-2)) = 3 * (!3 + !2) = 3 * (2 + 1) = 9
etc.

Voorbeeld:
met drie personen A, B en C zijn er 3! = 6 mogelijke trekkingen:
1: A B C
2: A C B
3: B A C
4: B C A
5: C A B
6: C B A
Alleen bij trekking 4 en trekking 5 heeft niemand zijn eigen lootje (ga na), het aantal derangementen is daarom 2.

Als we het aantal derangementen uitwerken t/m 15 personen krijgen we:
!1 = 0
!2 = 1
!3 = 2
!4 = 9
!5 = 44
!6 = 265
!7 = 1854
!8 = 14833
!9 = 133496
!10 = 1334961
!11 = 14684570
!12 = 176214841
!13 = 2290792932
!14 = 32071101049
!15 = 481066515734

Nu kunnen we je vraag beantwoorden:
De kans dat de eerste persoon zichzelf trekt = 1/15.
Dan blijven er nog 14! mogelijke trekkingen over.
Er zijn daarbij 14 mogelijkheden om 1 persoon aan te wijzen zie zichzelf trekt.
Van de overige 13 mag dan niemand zichzelf trekken = !13 mogelijkheden.
De kans dat precies 1 persoon (van die overige 14) zichzelf trekt = (14 * !13) / 14!
= !13 / 13! = 2290792932 / 6227020800 = 63633137/172972800 ~= 0.367879441


PS: Hier nog de kansen dat k van de 15 personen zichzelf trekken:
k = 0: 0.367879441171
k = 1: 0.367879441172
k = 2: 0.183939720580
k = 3: 0.0613132402202
k = 4: 0.0153283099681
k = 5: 0.00306566220238
k = 6: 0.000510943317656
k = 7: 0.0000729924492945
k = 8: 0.00000912344104308
k = 9: 0.00000101426244366
k = 10: 0.000000101043503821
k = 11: 0.00000000939454064454
k = 12: 0.000000000695891899596
k = 13: 0.0000000000802952191841
k = 14: 0.00000000000000000000000
k = 15: 0.000000000000764716373182
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2946
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Kansontwikkeling lootjes trekken

Berichtdoor arie » 09 Dec 2016, 17:32

antamaris schreef:Hallo,

Ik snap Uw uitleg niet helemaal vwb de formule die gebruikt word bij het lootjes trekken .
Nu kunnen we de formule gaan toepassen:
!3 = (3-1) * (!(3-1) + !(3-2)) = 2 * (!2 + !1) = 2 * (1 + 0) = 2
!4 = (4-1) * (!(4-1) + !(4-2)) = 3 * (!3 + !2) = 3 * (2 + 1) = 9
Hoe komt u tot het laatste gedeelte bij bv de 4 staat 3*(2+1)=9 maw 2+1 waar komt dat vandaan.
( Ik wilde het antw gaan bereken bij 100 mensen)

Alvast bedankt,

Vrgr Ate,


Als je het uitroepteken wat verwarrend vindt kunnen we ook D(n) schrijven voor het aantal mogelijke derangementen van een verzameling met n elementen.

De formule van de wiki-pagina kunnen we dan schrijven als

D(n) = (n-1) * (D(n-1) + D(n-2))
met
D(1) = 0
D(2) = 1

Dan is:
D(3) = (3-1) * (D(3-1) + D(3-2))
D(3) = 2 * (D(2) + D(1))
de waarden van D(2) en D(1) weten we al (zie hierboven: D(2)=1 en D(1)=0), die vullen we in:
D(3) = 2 * (1 + 0)
dus
D(3) = 2

Nu we weten dat D(3)=2, kunnen we de volgende gaan bepalen:
D(4) = (4-1) * (D(4-1) + D(4-2))
D(4) = 3 * (D(3) + D(2))
de waarden van D(3) en D(2) weten we al (zie hierboven: D(3)=2 en D(2)=1), die vullen we in:
D(4) = 3 * (2 + 1)
dus
D(4) = 9

Nu we weten dat D(4)=9, kunnen we de volgende gaan bepalen:
D(5) = (5-1) * (D(5-1) + D(5-2))
D(5) = 4 * (D(4) + D(3))
de waarden van D(4) en D(3) weten we al (zie hierboven: D(4)=9 en D(3)=2), die vullen we in:
D(5) = 4 * (9 + 2)
dus
D(5) = 44

etc.

Lukt het je hiermee om D(100) te bepalen?
En hoe groot is de kans D(100)/(100!) ?
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2946
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Kansontwikkeling lootjes trekken

Berichtdoor antamaris » 09 Dec 2016, 18:29

Bedankt voor de info,
Begrijp ik het goed nu als volledige wiskunde leek (kom nog het LTS tijdperk) dat ik vanaf 5 ze stuk voor stuk moet gaan berekenen tot ik bij de 100 ben ?

Gr Ate,
antamaris
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 4
Geregistreerd: 09 Dec 2016, 14:17

Re: Kansontwikkeling lootjes trekken

Berichtdoor arie » 09 Dec 2016, 19:15

Dat begrijp je goed.
Het probleem daarbij is dat de getallen al snel zeer groot worden.

Je kan dit werk ook overlaten aan de computer.
Ga bijvoorbeeld naar http://www.wolframalpha.com/
en vul in het invoerveld in:
derangements(100)
Je krijgt dan direct het antwoord (een getal van 158 cijfers).

Alternatief: gebruik benaderingsformules, bijvoorbeeld:



(met e = grondtal natuurlijke logaritmen = 2.718281828459045235360287....)

of (als je ook van die n! af wilt, maar iets minder nauwkeurig):



Hier de eerste 10 waarden voor al deze getallen:

Code: Alles selecteren
n   D(n)    n!/e                            (wortel((2*n+(1/3))*Pi))*((n/e)^n)*(1/e)
1   0       0.367879441171442321595523770   0.366415945818662835836887934
2   1       0.735758882342884643191047540   0.734788804733084764347859804
3   2       2.207276647028653929573142621   2.205854923533874804243652017
4   9       8.829106588114615718292570483   8.825755034741826977506755555
5   44      44.14553294057307859146285242   44.13450765614498229661856133
6   265     264.8731976434384715487771145   264.8264141159206342020076524
7   1854    1854.112383504069300841439802   1853.868655610297691962410748
8   14833   14832.89906803255440673151841   14831.39180078448310447717811
9   133496  133496.0916122929896605836657   133485.2931699278438372898916
10  1334961 1334960.916122929896605836657   1334872.928467711070027817609
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2946
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Kansontwikkeling lootjes trekken

Berichtdoor antamaris » 10 Dec 2016, 11:40

Ongelofelijk, maar het klopt en ik heb mijn antw hiermee kunnen invullen.
Bedankt, nog.
antamaris
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 4
Geregistreerd: 09 Dec 2016, 14:17

Re: Kansontwikkeling lootjes trekken

Berichtdoor arie » 10 Dec 2016, 12:28

Mooi.

Als je lootjes trekt met n personen is de kans op een geschikte trekking (= trekking waarbij niemand zijn eigen naam trekt) dus gelijk aan D(n) / n!

Hier nog een lijstje met deze getallen:

Code: Alles selecteren
n       D(n) / n!
1       0.000000000000000000000000
2       0.500000000000000000000000
3       0.333333333333333333333333
4       0.375000000000000000000000
5       0.366666666666666666666667
6       0.368055555555555555555556
7       0.367857142857142857142857
8       0.367881944444444444444444
9       0.367879188712522045855379
10      0.367879464285714285714286
11      0.367879439233605900272567
12      0.367879441321281599059377

Je ziet dat deze kans dus al snel 1/e = 0.367879441171442321595524 nadert.

In het algemeen zal je dus bij n=3 of meer personen ongeveer 3 trekkingen nodig hebben om tot een geschikte uitkomst te komen.
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2946
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Kansontwikkeling lootjes trekken

Berichtdoor arie » 11 Dec 2016, 00:00

Onderwerp gesplitst naar http://www.wiskundeforum.nl/viewtopic.php?f=28&t=11619
(je mag altijd een nieuw topic starten)
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 2946
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19


Terug naar Wiskundige puzzels

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast

Wie is er online?

Er is in totaal 1 gebruiker online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 1 gast (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.