Je vraag gaat over derangementen, zie bv
http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement.
In termen van jouw probleem:
Een derangement is een verdeling van n lootjes over n personen, zodanig dat iedereen 1 lootje heeft maar
niemand zijn eigen lootje heeft.
Dit aantal wordt weergegeven door !n, een uitroepteken voor de n.
Dit is wat anders dan het aantal permutaties = n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1.
Het aantal permutaties is het totaal aantal mogelijkheden om n lootjes te verdelen over n personen (weer 1 lootje per persoon):
voor de eerste heb je keuze uit n, voor de tweede keuze uit (n-1), voor de derde uit (n-2), etc.
Terug naar de derangementen: deze kan je bepalen via de volgende vergelijking (zie de wiki pagina):
!n = (n-1) * (!(n-1) + !(n-2))
Als je lootjes trekt met 1 persoon (alleen voor jezelf), zal je altijd je eigen lootje trekken: !1 = 0.
Als je lootjes trekt met 2 personen zijn er 2 mogelijkheden: ieder trekt zijn eigen lootje OF ieder trekt het lootje van de ander: !2 = 1
Nu kunnen we de formule gaan toepassen:
!3 = (3-1) * (!(3-1) + !(3-2)) = 2 * (!2 + !1) = 2 * (1 + 0) = 2
!4 = (4-1) * (!(4-1) + !(4-2)) = 3 * (!3 + !2) = 3 * (2 + 1) = 9
etc.
Voorbeeld:
met drie personen A, B en C zijn er 3! = 6 mogelijke trekkingen:
1: A B C
2: A C B
3: B A C
4: B C A
5: C A B
6: C B A
Alleen bij trekking 4 en trekking 5 heeft niemand zijn eigen lootje (ga na), het aantal derangementen is daarom 2.
Als we het aantal derangementen uitwerken t/m 15 personen krijgen we:
!1 = 0
!2 = 1
!3 = 2
!4 = 9
!5 = 44
!6 = 265
!7 = 1854
!8 = 14833
!9 = 133496
!10 = 1334961
!11 = 14684570
!12 = 176214841
!13 = 2290792932
!14 = 32071101049
!15 = 481066515734
Nu kunnen we je vraag beantwoorden:
De kans dat de eerste persoon zichzelf trekt = 1/15.
Dan blijven er nog 14! mogelijke trekkingen over.
Er zijn daarbij 14 mogelijkheden om 1 persoon aan te wijzen zie zichzelf trekt.
Van de overige 13 mag dan niemand zichzelf trekken = !13 mogelijkheden.
De kans dat precies 1 persoon (van die overige 14) zichzelf trekt = (14 * !13) / 14!
= !13 / 13! = 2290792932 / 6227020800 = 63633137/172972800 ~= 0.367879441
PS: Hier nog de kansen dat k van de 15 personen zichzelf trekken:
k = 0: 0.367879441171
k = 1: 0.367879441172
k = 2: 0.183939720580
k = 3: 0.0613132402202
k = 4: 0.0153283099681
k = 5: 0.00306566220238
k = 6: 0.000510943317656
k = 7: 0.0000729924492945
k = 8: 0.00000912344104308
k = 9: 0.00000101426244366
k = 10: 0.000000101043503821
k = 11: 0.00000000939454064454
k = 12: 0.000000000695891899596
k = 13: 0.0000000000802952191841
k = 14: 0.00000000000000000000000
k = 15: 0.000000000000764716373182