Dag allemaal,
vandaag ontstond een discussie op Facebook over volgende oefening.
De meeste mensen kwamen uit op A, ik kwam uit op B.
Ik ben benieuwd naar jullie oplossing en uiteraard voorzien met de uitleg hoe je eraan komt.
https://fbcdn-sphotos-d-a.akamaihd.net/ ... 4268aa177e
tabel
Re: tabel
A is juist.
Jij hebt waarschijnlijk deze berekening gemaakt:
1842 / 1333 = 1.3818,
dus een stijging van 38.18% in 2 jaar,
dus gemiddeld een stijging van 19.09% per jaar. [*]
De voorspelling is dan 19.09% + 5.9% = 24.99%,
waardoor het gevraagde aantal gelijk is aan 1842 * 1.2499 = 2302 (= antwoordalternatief B).
Bij [*] gaat het mis: dat is het percentage ten opzichte van het beginjaar:
Stel we gaan uit van die gemiddelde toename van 19.09%, dan zien we het volgende:
Na 1 jaar zou het aantal daarmee gelijk zijn aan 1333 + 1333 * 0.1909 = 1333 + 254 = 1587
en na 2 jaar 1587 + 1587 * 0.1909 = 1587 + 303 = 1890
Terwijl gegeven is dat het aantal na 2 jaar 1842 is.
Dat klopt dus niet.
Het zou wel kloppen als je de stijging steeds ten opzichte van het beginjaar bepaalt:
Na 1 jaar zou het aantal daarmee gelijk zijn aan 1333 + 1333 * 0.1909 = 1333 + 254 = 1587
en na 2 jaar 1587 + 1333 * 0.1909 = 1587 + 254 = 1841
Maar de getallen in rood gebruiken we hier niet, want de toename is altijd ten opzichte van het voorgaande jaar, en niet ten opzichte van het beginjaar.
De juiste berekening is:
We zoeken een groeifactor g voor de gemiddelde groei per jaar, waarbij
1333 * g = het aantal na 1 jaar
en
(het aantal na 1 jaar) * g = het aantal na 2 jaar = 1842
Maar dan is:
(1333 * g) * g = 1842
ofwel
1333 * g^2 = 1842
ofwel
g^2 = 1842 / 1333
ofwel
g^2 = 1.3818
ofwel (worteltrekken):
g = 1.1755,
ofwel: de gemiddelde groei is 17.55%.
Ter controle:
Na 1 jaar is het aantal nu gelijk aan 1333 + 1333 * 0.1755 = 1333 + 234 = 1567
en na 2 jaar 1567 + 1567 * 0.1755 = 1567 + 275 = 1842
En dit klopt.
En 1842 * (1.1755 + 0,059) = 1842 * 1.2345 = 2274 (antwoordalternatief A).
Alternatieve berekening:
De groeifactor in het eerste jaar = 1611 / 1333 = 1.2086
De groeifactor in het tweede jaar = 1842 / 1611 = 1.1434
De gemiddelde groeifactor is dus (1.2086 + 1.1434) / 2 = 2.3520 / 2 = 1.1760,
ofwel een groei van 17.60%.
Deze berekening is net iets minder zuiver als die hierboven met uitkomst 17.55%,
maar dat verschil is te verwaarlozen.
Jij hebt waarschijnlijk deze berekening gemaakt:
1842 / 1333 = 1.3818,
dus een stijging van 38.18% in 2 jaar,
dus gemiddeld een stijging van 19.09% per jaar. [*]
De voorspelling is dan 19.09% + 5.9% = 24.99%,
waardoor het gevraagde aantal gelijk is aan 1842 * 1.2499 = 2302 (= antwoordalternatief B).
Bij [*] gaat het mis: dat is het percentage ten opzichte van het beginjaar:
Stel we gaan uit van die gemiddelde toename van 19.09%, dan zien we het volgende:
Na 1 jaar zou het aantal daarmee gelijk zijn aan 1333 + 1333 * 0.1909 = 1333 + 254 = 1587
en na 2 jaar 1587 + 1587 * 0.1909 = 1587 + 303 = 1890
Terwijl gegeven is dat het aantal na 2 jaar 1842 is.
Dat klopt dus niet.
Het zou wel kloppen als je de stijging steeds ten opzichte van het beginjaar bepaalt:
Na 1 jaar zou het aantal daarmee gelijk zijn aan 1333 + 1333 * 0.1909 = 1333 + 254 = 1587
en na 2 jaar 1587 + 1333 * 0.1909 = 1587 + 254 = 1841
Maar de getallen in rood gebruiken we hier niet, want de toename is altijd ten opzichte van het voorgaande jaar, en niet ten opzichte van het beginjaar.
De juiste berekening is:
We zoeken een groeifactor g voor de gemiddelde groei per jaar, waarbij
1333 * g = het aantal na 1 jaar
en
(het aantal na 1 jaar) * g = het aantal na 2 jaar = 1842
Maar dan is:
(1333 * g) * g = 1842
ofwel
1333 * g^2 = 1842
ofwel
g^2 = 1842 / 1333
ofwel
g^2 = 1.3818
ofwel (worteltrekken):
g = 1.1755,
ofwel: de gemiddelde groei is 17.55%.
Ter controle:
Na 1 jaar is het aantal nu gelijk aan 1333 + 1333 * 0.1755 = 1333 + 234 = 1567
en na 2 jaar 1567 + 1567 * 0.1755 = 1567 + 275 = 1842
En dit klopt.
En 1842 * (1.1755 + 0,059) = 1842 * 1.2345 = 2274 (antwoordalternatief A).
Alternatieve berekening:
De groeifactor in het eerste jaar = 1611 / 1333 = 1.2086
De groeifactor in het tweede jaar = 1842 / 1611 = 1.1434
De gemiddelde groeifactor is dus (1.2086 + 1.1434) / 2 = 2.3520 / 2 = 1.1760,
ofwel een groei van 17.60%.
Deze berekening is net iets minder zuiver als die hierboven met uitkomst 17.55%,
maar dat verschil is te verwaarlozen.