Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
Ik zit met een probleem bij een vraag die ik niet begrijp voor een examen Lineaire algebra. Hopelijk kan iemand mij hiermee op weg helpen. Ik zit vooral met het probleem dat ik niet weet hoe ik een basis kan vinden voor een vergelijking.
De vraag luidt als volgt:
x1+x2+x3+x4=0
Vind een basis voor de oplossingsruimte V
Vind een basis voor het orhtogonale complement V^T
Ontbind y=[1;1;1;1] tov een vector in V en een vector w in V^T
De vraag luidt als volgt:
x1+x2+x3+x4=0
Vind een basis voor de oplossingsruimte V
Vind een basis voor het orhtogonale complement V^T
Ontbind y=[1;1;1;1] tov een vector in V en een vector w in V^T
Re: Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
Stel
x1 = lambda
x2 = mu
x3 = rho,
waaraan moet x4 dan gelijk zijn?
Werk dat uit naar:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = ...)
Kom je zo verder?
x1 = lambda
x2 = mu
x3 = rho,
waaraan moet x4 dan gelijk zijn?
Werk dat uit naar:
Kom je zo verder?
Re: Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
x4=-lambda-mu-rho
Ik denk dat dit de bedoeling is? En dient dit dan voor elke x te gebeuren op één na waardoor er drie keer een 4x1 matrix wordt gemaakt die dan de basis vormt?
Ik denk dat dit de bedoeling is? En dient dit dan voor elke x te gebeuren op één na waardoor er drie keer een 4x1 matrix wordt gemaakt die dan de basis vormt?
Re: Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
Klopt.
Je zoekt alle vectoren waarvoor geldt:
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
De vectoren die hieraan voldoen vormen je oplossingsruimte V.
We kunnen voor 3 van de 4 een vrije waarde kiezen (variabelen lambda, mu en rho), dan ligt de vierde vast.
Dus als
x1 = lambda
x2 = mu
x3 = rho
dan is
x4 = -lambda - mu - rho.
ofwel in vector-vorm geschreven, zoals je al aangaf:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} \;=\; \lambda \;\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \;+\; \mu \; \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \;+\; \rho \; \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix})
Alle oplossingen van de vergelijking (= de elementen van V) zijn dus te schrijven in deze vorm.
Omgekeerd zijn alle vectoren in deze vorm oplossingen van je vergelijking (bewijs dit zo nodig).
Merk ook op dat de 3 vectoren in de laatste vergelijking onafhankelijk zijn (bewijs dit zo nodig).
Ze vormen daarom een basis voor V.
Lukken de overige vragen nu?
Je zoekt alle vectoren waarvoor geldt:
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
De vectoren die hieraan voldoen vormen je oplossingsruimte V.
We kunnen voor 3 van de 4 een vrije waarde kiezen (variabelen lambda, mu en rho), dan ligt de vierde vast.
Dus als
x1 = lambda
x2 = mu
x3 = rho
dan is
x4 = -lambda - mu - rho.
ofwel in vector-vorm geschreven, zoals je al aangaf:
Alle oplossingen van de vergelijking (= de elementen van V) zijn dus te schrijven in deze vorm.
Omgekeerd zijn alle vectoren in deze vorm oplossingen van je vergelijking (bewijs dit zo nodig).
Merk ook op dat de 3 vectoren in de laatste vergelijking onafhankelijk zijn (bewijs dit zo nodig).
Ze vormen daarom een basis voor V.
Lukken de overige vragen nu?
Re: Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
Om een orhogonale basis te verkrijgen kan het Gramm-Schmidt proces gebruikt worden maar dat geeft niet de orthogonale complement ervan denk ik? Dus hoe ik dit verder uitwerk weet ik ook niet precies. Als ik deze basis vind zal vraag 3 wel niet meer zo moeilijk zijn veronderstel ik?
Re: Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
We hebben hierboven een basis gevonden voor V,
namelijk de 3 vectoren:
v1 = [1; 0; 0; -1]
v2 = [0; 1; 0; -1]
v3 = [0; 0; 1; -1]
De orhtonormalisatieprocedure van Gramm-Schmidt zet deze 3 vectoren om in een orthonormale basis voor V, maar dat zoeken we niet.
Het orthogonale complement van V zijn alle vectoren z = [z1; z2; z3; z4] die loodrecht op V staan.
Ofwel: bepaal alle vectoren z waarvoor geldt:
inproduct(z, v1) = 0
inproduct(z, v2) = 0
inproduct(z, v3) = 0
namelijk de 3 vectoren:
v1 = [1; 0; 0; -1]
v2 = [0; 1; 0; -1]
v3 = [0; 0; 1; -1]
De orhtonormalisatieprocedure van Gramm-Schmidt zet deze 3 vectoren om in een orthonormale basis voor V, maar dat zoeken we niet.
Het orthogonale complement van V zijn alle vectoren z = [z1; z2; z3; z4] die loodrecht op V staan.
Ofwel: bepaal alle vectoren z waarvoor geldt:
inproduct(z, v1) = 0
inproduct(z, v2) = 0
inproduct(z, v3) = 0
Re: Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
Maar deze vectoren z hebben toch telkens 4 inputs. Je krijgt dus toch 3 vergelijkingen eigenlijk met twaalf onbekenden? Of mag je de inputs van deze vectoren gewoon zelf kiezen opdat het inproduct uit zou komen?
Re: Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
Nee, elke vector z moet tegelijkertijd aan alle 3 de voorwaarden voldoen:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 \end{bmatrix} \;\cdot\; \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \;=\; 0)
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 \end{bmatrix} \;\cdot\; \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \;=\; 0)
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 \end{bmatrix} \;\cdot\; \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \;=\; 0)
want elke z moet loodrecht op alle vectoren in V staan.
Op deze manier ontstaat een stelsel van 3 vergelijkingen met 4 onbekenden (z1, z2, z3 en z4).
Welke vectoren z vind je zo?
(en hadden we dat antwoord al eerder kunnen weten?)
want elke z moet loodrecht op alle vectoren in V staan.
Op deze manier ontstaat een stelsel van 3 vergelijkingen met 4 onbekenden (z1, z2, z3 en z4).
Welke vectoren z vind je zo?
(en hadden we dat antwoord al eerder kunnen weten?)
Re: Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
We vinden zo dat z1=z4 en z2=z4 en z3=z4 waardoor we een nieuwe basis krijgen met als vectoren
[1; 0; 0; 1]
[0; 1; 0; 1]
[0; 0; 1; 1]
Klopt dit?
[1; 0; 0; 1]
[0; 1; 0; 1]
[0; 0; 1; 1]
Klopt dit?
Re: Lineare algebra: basis zoeken van een vergelijking
Dit klopt, maar aan de basis van V gaan we niets meer doen.nielsddd schreef:We vinden zo dat z1=z4 en z2=z4 en z3=z4
We zoeken nu het orthogonaal complement van V, dus alle vectoren z die loodrecht op alle vectoren x van V staan.
Dat wil zeggen: alle vectoren z die loodrecht op alle 3 de basisvectoren van V staan (want alle elementen van V (= alle vectoren x in V) zijn lineaire combinaties van die 3 vectoren).
Ofwel: alle vectoren z waarvan het inproduct met alle basisvectoren van V gelijk is aan nul.
Hiermee vond je:
z1=z4 en
z2=z4 en
z3=z4
Dus het orthogonaal complement van V zijn de vectoren z, waarvoor geldt:
z1=z4 en
z2=z4 en
z3=z4
Geef 1 van deze 4 een waarde, dan liggen de andere 3 vast.
Bijvoorbeeld: noem z4 = tau,
wat wordt dan z = het orthogonaal complement van V?