Er is een afstand van A kilometer te overbruggen met een wagen die maar 100 liter kan meenemen. De wagen rijdt 1 op 10. Op punt x = 0 is een oneindige brandstofvoorraad. Met één volle tank kan het wagentje maximaal 1000 kilometer overbruggen. Wanneer er langere afstanden overbrugd moeten worden, kunnen we gebruik maken van brandstofdepots. Deze kunnen overal geplaatst worden, en met het wagentje bijgevuld worden. Een depot kan een oneindige hoeveelheid brandstof bevatten, maar het wagentje kan slechts 100 liter meenemen. Bereken waar de depots komen te staan en hoeveel brandstof je in totaal nodig hebt om de afstand te overbruggen.
Kan iemand helpen met deze opdracht? Na veel gepuzzel is het niet gelukt om hier een antwoord op te vinden.
Reis op de maan
Re: Reis op de maan
Dit is een vrij bekend probleem in de wiskunde, zie bijvoorbeeld
https://en.wikipedia.org/wiki/Jeep_problem
(wel in het Engels, maar niet al te ingewikkeld en met plaatjes).
Daar hebben ze alles beschreven voor een wagen die 1-op-1 rijdt, met 1 liter tankinhoud,
maar dit is eenvoudig aan te passen naar jouw gegevens.
Kom je hiermee verder?
https://en.wikipedia.org/wiki/Jeep_problem
(wel in het Engels, maar niet al te ingewikkeld en met plaatjes).
Daar hebben ze alles beschreven voor een wagen die 1-op-1 rijdt, met 1 liter tankinhoud,
maar dit is eenvoudig aan te passen naar jouw gegevens.
Kom je hiermee verder?
-
wiskundebogaarts
- Nieuw lid
- Berichten: 4
- Lid geworden op: 18 okt 2015, 19:53
Re: Reis op de maan
OK ik begin het te begrijpen, maar het lukt nog niet helemaal.
Zoals ik het begrijp, geeft de onderste formule som(k = 1 tot k = n) van 1/(2k - 1) dus de maximale afstand die je met n liter brandstof kan bereiken. Omgeschreven naar mijn waardes wordt dit dus in ieder geval som (k = 1 tot k = n) van 1000/(2k - 1)
Wat mij verward, is dat n op deze pagina zowel de capaciteit is van de brandstoftank van de jeep, als de hoeveelheid brandstof die op het beginpunt aanwezig is. Hoe pas ik dit voor de rest aan aan mijn waardes?
Alvast bedankt, en met vriendelijke groet,
Wiskundebogaarts
Zoals ik het begrijp, geeft de onderste formule som(k = 1 tot k = n) van 1/(2k - 1) dus de maximale afstand die je met n liter brandstof kan bereiken. Omgeschreven naar mijn waardes wordt dit dus in ieder geval som (k = 1 tot k = n) van 1000/(2k - 1)
Wat mij verward, is dat n op deze pagina zowel de capaciteit is van de brandstoftank van de jeep, als de hoeveelheid brandstof die op het beginpunt aanwezig is. Hoe pas ik dit voor de rest aan aan mijn waardes?
Alvast bedankt, en met vriendelijke groet,
Wiskundebogaarts
Re: Reis op de maan
[situatie 1]
Als het voorbeeld op die pagina:
Verbruik 1:1, maximaal 1 liter brandstof:
Stel n=3, dan maak je 3 ritten, de eerste 2 heen en terug naar het depot, de 3e keer alleen heen naar A.
rit1: vol heen, je legt afstand 1/5 af, laat 3/5 achter op dropping punt1, gaat terug naar het depot met de resterende 1/5 liter
rit2: vol heen, je gaat naar dropping punt1, tankt daar vol met 1/5 liter, legt nu afstand 1/3 af, laat 1/3 achter op dropping punt 2, ga terug naar dropping punt1 met de laatste 1/3 liter, tank op dropping punt1 weer 1/5 liter, ga terug naar het depot
rit3: vol heen, ga naar dropping punt1, tankt daar vol met 1/5 liter, dropping punt1 is nu leeg, rij door naar dropping punt2, tank daar vol met 1/3 liter, dropping punt2 is nu ook leeg, rij de laatste volle tank op naar A.
Met n=3 kan je dus afstand A = 1 + 1/3 + 1/5 = 23/15 = 1.533333... overbruggen
[situatie 2]
Met verbruik 1:1 en maximaal 100 liter brandstof:
- worden de hoeveelheden brandstof op de dropping punten 100 maal zo groot als in situatie 1
- worden de afstanden 100 maal zo groot als in situatie 1
dit levert:
rit1: vol heen, je legt afstand (1/5)*100 = 20 km af, laat (3/5)*100=60 liter achter op dropping punt1, gaat terug naar het depot met de resterende (1/5)*100 = 20 liter
rit2: vol heen, je gaat naar dropping punt1, tankt daar vol met 20 liter, legt nu afstand 100/3 km af, laat 100/3 liter achter op dropping punt 2, ga terug naar dropping punt1 met de laatste 100/3 liter, tank op dropping punt1 weer 20 liter, ga terug naar het depot
rit3: vol heen, ga naar dropping punt1, tankt daar vol met 20 liter, dropping punt1 is nu leeg, rij door naar dropping punt2, tank daar vol met 100/3 liter, dropping punt2 is nu ook leeg, rij de laatste volle tank op naar A.
Met n=3 kan je dus afstand A = 100 + 100/3 + 100/5 = 2300/15 = 153.3333... km overbruggen
[situatie 3]
Met verbruik 1:10 en maximaal 100 liter brandstof:
- blijven de hoeveelheden brandstof hetzelfde als in situatie 2
- maar worden de afstanden 10 maal zo groot als in situatie 2
We kunnen nu dus met n=3 de afstand A = 1533.333... km overbruggen
PS:
Hebben ze ook een waarde voor A gegeven, waarvoor je n moet bepalen?
Als het voorbeeld op die pagina:
Verbruik 1:1, maximaal 1 liter brandstof:
Stel n=3, dan maak je 3 ritten, de eerste 2 heen en terug naar het depot, de 3e keer alleen heen naar A.
rit1: vol heen, je legt afstand 1/5 af, laat 3/5 achter op dropping punt1, gaat terug naar het depot met de resterende 1/5 liter
rit2: vol heen, je gaat naar dropping punt1, tankt daar vol met 1/5 liter, legt nu afstand 1/3 af, laat 1/3 achter op dropping punt 2, ga terug naar dropping punt1 met de laatste 1/3 liter, tank op dropping punt1 weer 1/5 liter, ga terug naar het depot
rit3: vol heen, ga naar dropping punt1, tankt daar vol met 1/5 liter, dropping punt1 is nu leeg, rij door naar dropping punt2, tank daar vol met 1/3 liter, dropping punt2 is nu ook leeg, rij de laatste volle tank op naar A.
Met n=3 kan je dus afstand A = 1 + 1/3 + 1/5 = 23/15 = 1.533333... overbruggen
[situatie 2]
Met verbruik 1:1 en maximaal 100 liter brandstof:
- worden de hoeveelheden brandstof op de dropping punten 100 maal zo groot als in situatie 1
- worden de afstanden 100 maal zo groot als in situatie 1
dit levert:
rit1: vol heen, je legt afstand (1/5)*100 = 20 km af, laat (3/5)*100=60 liter achter op dropping punt1, gaat terug naar het depot met de resterende (1/5)*100 = 20 liter
rit2: vol heen, je gaat naar dropping punt1, tankt daar vol met 20 liter, legt nu afstand 100/3 km af, laat 100/3 liter achter op dropping punt 2, ga terug naar dropping punt1 met de laatste 100/3 liter, tank op dropping punt1 weer 20 liter, ga terug naar het depot
rit3: vol heen, ga naar dropping punt1, tankt daar vol met 20 liter, dropping punt1 is nu leeg, rij door naar dropping punt2, tank daar vol met 100/3 liter, dropping punt2 is nu ook leeg, rij de laatste volle tank op naar A.
Met n=3 kan je dus afstand A = 100 + 100/3 + 100/5 = 2300/15 = 153.3333... km overbruggen
[situatie 3]
Met verbruik 1:10 en maximaal 100 liter brandstof:
- blijven de hoeveelheden brandstof hetzelfde als in situatie 2
- maar worden de afstanden 10 maal zo groot als in situatie 2
We kunnen nu dus met n=3 de afstand A = 1533.333... km overbruggen
PS:
Hebben ze ook een waarde voor A gegeven, waarvoor je n moet bepalen?
-
wiskundebogaarts
- Nieuw lid
- Berichten: 4
- Lid geworden op: 18 okt 2015, 19:53
Re: Reis op de maan
Hallo Arie, ja ik moet de n bepalen voor een gegeven A.
Bij de makkelijke variant geldt A = 1600, en moet je zowel het aantal depots als de plaats van deze depots (makkelijk als je weet hoeveel je er hebt) bepalen. Bij de moeilijke variant geldt A = 3000. Zou je me kunnen helpen met het proces voor de makkelijke? Dan kan ik de moeilijke zelf proberen.
Bij de makkelijke variant geldt A = 1600, en moet je zowel het aantal depots als de plaats van deze depots (makkelijk als je weet hoeveel je er hebt) bepalen. Bij de moeilijke variant geldt A = 3000. Zou je me kunnen helpen met het proces voor de makkelijke? Dan kan ik de moeilijke zelf proberen.
Re: Reis op de maan
Voor n=3 kwamen we uit op A = 1000 * (1 + 1/3 + 1/5) = 1533.333... km
Welke afstand kan je met n=4 overbruggen?
Welke afstand kan je met n=4 overbruggen?
-
wiskundebogaarts
- Nieuw lid
- Berichten: 4
- Lid geworden op: 18 okt 2015, 19:53
Re: Reis op de maan
Voor n = 4 heb ik 1000 + (1000/3) + (1000/5) + (1000/7) = ~1676, dus betekent dit dat het met 4 depots op deze 4 plaatsen ruim lukt? Is dit de optimale oplossing zodat het brandstofvebruik het minst is? En aangezien hoe groter de n hoe minder snel de A stijgt, hoe kan ik het dan op deze manier uitrekenen voor A = 3000?
Re: Reis op de maan
Er zijn 3 voor de hand liggende strategieen:
- ofwel stug doorgaan met de hand (veel werk)
- ofwel via een computerprogramma (computer of programmeerbare rekenmachine)
- ofwel via een benaderingsformule
Hint voor de laatste strategie:
We weten van https://en.wikipedia.org/wiki/Jeep_problem:
)
Hier vind je een benadering voor H_n:
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2% ... a_function
maar je kan deze nog grover nemen als n heel groot wordt:
 \;+\; \gamma)
waarbij gamma = de Euler-Mascheroni constante = 0.5772156649...
Het bewijs van de meest efficiente route vind je bv. hier (pag. 454):
http://link.springer.com/chapter/10.100 ... _41#page-1
- ofwel stug doorgaan met de hand (veel werk)
- ofwel via een computerprogramma (computer of programmeerbare rekenmachine)
- ofwel via een benaderingsformule
Hint voor de laatste strategie:
We weten van https://en.wikipedia.org/wiki/Jeep_problem:
Hier vind je een benadering voor H_n:
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2% ... a_function
maar je kan deze nog grover nemen als n heel groot wordt:
waarbij gamma = de Euler-Mascheroni constante = 0.5772156649...
Het bewijs van de meest efficiente route vind je bv. hier (pag. 454):
http://link.springer.com/chapter/10.100 ... _41#page-1
-
Dhr. Gijsbers
- Nieuw lid
- Berichten: 1
- Lid geworden op: 19 okt 2015, 21:21
Re: Reis op de maan
Deze opdracht heb ik pas aan mijn 5-vwo leerlingen opgegeven ter voorbereiding op de wiskunde-dag. Die opdracht moest vandaag ingeleverd worden. Bovendien heet een van mijn collega's Bogaarts. Als ik dus weet welk groepje dit is, kan dit grote consequenties hebben. Dit is namelijk gewoon fraude. Ook zal het niet zo moeilijk zijn om dit groepje te vinden, aangezien de meeste leerlingen het vandaag al ingeleverd hebben. Als jullie goed nadenken, komen jullie vast wel tot een goede oplossing.
Dhr. Gijsbers
Dhr. Gijsbers
Re: Reis op de maan
Dit is een verrassende wending.Dhr. Gijsbers schreef:Deze opdracht heb ik pas aan mijn 5-vwo leerlingen opgegeven ter voorbereiding op de wiskunde-dag. Die opdracht moest vandaag ingeleverd worden. Bovendien heet een van mijn collega's Bogaarts. Als ik dus weet welk groepje dit is, kan dit grote consequenties hebben. Dit is namelijk gewoon fraude. Ook zal het niet zo moeilijk zijn om dit groepje te vinden, aangezien de meeste leerlingen het vandaag al ingeleverd hebben. Als jullie goed nadenken, komen jullie vast wel tot een goede oplossing.
Dhr. Gijsbers
Op dit forum proberen we mensen te helpen bij het oplossen van wiskundige problemen.
Daar waar het onderwijs betreft bestaat die hulp/begeleiding uit minimale aanwijzingen en laten we de leerling/student zo veel mogelijk zelf denken en doen. Zo leren ze het meeste.
In subforum puzzels en subforum praktijkproblemen geven we doorgaans wat meer sturing, achtergronden en oplossingsmethoden.
Het is echter niet zo dat we lopende opdrachten of puzzels willen bederven door hier de volledige oplossingen te plaatsen.
Indien gewenst kunnen we dit "Reis op de maan" topic in zijn geheel van het forum verwijderen.
PS:
Wat pleit voor de groep "wiskundebogaarts" is dat ze zo veel mogelijk zelf wilden doen en dat ook duidelijk aangaven.
En dat is altijd nog beter dan de volledige oplossing zoeken op het internet.
Ik verwacht ook dat ze aan bovenstaande aanwijzingen genoeg hebben om de 3000 km variant verder zelf uit te werken.