Wiskundeforum

Normaal ben ik redelijk handig met cijferreeksen, maar deze geeft me hoofdbrekens, vooral vanwege de 0 ervoor.
Hopelijk vind ik mezelf slimmer dan ik ben . Wie verlost me van het raadsel:
0 1 17 30 45 ...

Willem_h schreef:Normaal ben ik redelijk handig met cijferreeksen, maar deze geeft me hoofdbrekens, vooral vanwege de 0 ervoor.
Hopelijk vind ik mezelf slimmer dan ik ben . Wie verlost me van het raadsel:
0 1 17 30 45 ...

vlug gezegd denk ik 70

Hoe kom je aan 70 ?

Het antwoord is verrassend genoeg 39. Het is een nulpunt van een polynoom met de graad 6.
X(x-1)(x-17)(x-30)(x-45)(X-39)

SORRY mijn excuses ik had een foutje gemaakt het antwoord is 13.
polynoom graad 6: x(x-1)(x-17)(x-30)(x-45)(x-13)


Hoe kom ik aan dit antwoord? Je neemt de rij 0 1 17 30 45
Je neemt de verschilrij: 1 16 13 15
Daarvan de verschilrij: 15 -3 2
''' ''' -18 5
'' '''' ''' '''' 23
Polynoom van graad 1 x=23
terugrekenend kom je op x=13

Ok, dan gebruik je een extra gegeven nl dat het nulptn van een 6e gr polynoom zijn ... , ik kom dan op 90

Ja maar anders krijg je een niet algebraïsch getal en daar is geen algemene oplossing voor.

SafeX schreef:Ok, dan gebruik je een extra gegeven nl dat het nulptn van een 6e gr polynoom zijn ... , ik kom dan op 90

Inderdaad je hebt gelijk rekenen is nooit mijn sterke punt geweest...

Het kan ook anders
y = x^6 + ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 +ex
y(0) = 0
y(1) = 1
y(2) = 17
y(3) = 30
y(4) = 45

Door deductie krijg je dan
a = 1/15 - (3/7)*b - 7c
oftewel
b = 7/45 - (7/3)a - (1/3)c
oftewel
c = 1/15 - a - (3/7)b

Wie o wie kan dit verder oplossen?

In Wolfram

dat brengt je op




en dat levert 90 op voor x=5 zoals SafeX al stelde.

Bij een n-de graads polynoom, zijn de tussen 'opeenvolgende' punten n-de verschillen constant. 'Opeenvolgende' wil zeggen dat als de punten van de vorm (x, y) worden gesorteerd op de x-coördinaten, de verschillen tussen twee achtereenvolgende x-coördinaten voor al die paren hetzelfde is. Dat is hier het geval. Dus kunnen we zonder de polynoom.
De waarden zonder asterisk zijn gegeven als ze in de bovenste regel staan. Anders zijn ze het verschil van twee elementen erboven, de rechter min de linker.
De waarden met een asterisk zijn gevonden door de bovengenoemde theorie toe te passen. Het vierde verschil is constant, dus ook 23. Dan kan je de andere waarden een voor een vinden.

Mocht je toch een interpolerende polynoom willen vinden, dan kan die ook gevonden worden van de vorm

Waar c_4, c_3, c_2, c_1 en c_0 respectievelijk 23, -18, 15, 1 en 0 zijn, als is af te lezen uit het linkerrijtje van de verschillen.

Is er ook een diepere structuur in de getallenrij te vinden?
Dat is meestal de bedoeling van dit soort puzzels.

Door elk n-tal punten kunnen we immers een (n-1)-de graads polynoom construeren.

Voorbeeld:
1, -2, 3, -4, 5, ...
levert



met f(6) = 106, terwijl g(6) = -6 hier meer voor de hand ligt.

arie schreef:Is er ook een diepere structuur in de getallenrij te vinden?
Dat is meestal de bedoeling van dit soort puzzels.

Door elk n-tal punten kunnen we immers een (n-1)-de graads polynoom construeren.

Voorbeeld:
1, -2, 3, -4, 5, ...
levert



met f(6) = 106, terwijl g(6) = -6 hier meer voor de hand ligt.

Je kunt ook gewoon de functie nemen f(x) = ( x + 1)(-1)^x te beginnen met x = 0

(-1)^x is alleen gedefinieerd voor een geheel getal x ...

Hoe kom je daar in hemelsnaam bij???? X kan ook 1/2 zijn en zelfs een complex getal...