Cijferreeks puzzel

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Willem_h
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 25 feb 2016, 23:14

Cijferreeks puzzel

Bericht door Willem_h » 25 feb 2016, 23:24

Normaal ben ik redelijk handig met cijferreeksen, maar deze geeft me hoofdbrekens, vooral vanwege de 0 ervoor.
Hopelijk vind ik mezelf slimmer dan ik ben ;). Wie verlost me van het raadsel:
0 1 17 30 45 ...

parko
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 103
Lid geworden op: 19 dec 2014, 18:41

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door parko » 26 feb 2016, 12:58

Willem_h schreef:Normaal ben ik redelijk handig met cijferreeksen, maar deze geeft me hoofdbrekens, vooral vanwege de 0 ervoor.
Hopelijk vind ik mezelf slimmer dan ik ben ;). Wie verlost me van het raadsel:
0 1 17 30 45 ...
vlug gezegd denk ik 70

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door arie » 27 feb 2016, 19:11

Hoe kom je aan 70 ?

manus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 32
Lid geworden op: 22 feb 2015, 17:03

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door manus » 28 feb 2016, 11:34

Het antwoord is verrassend genoeg 39. Het is een nulpunt van een polynoom met de graad 6.
X(x-1)(x-17)(x-30)(x-45)(X-39)

manus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 32
Lid geworden op: 22 feb 2015, 17:03

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door manus » 28 feb 2016, 12:47

SORRY mijn excuses ik had een foutje gemaakt het antwoord is 13.
polynoom graad 6: x(x-1)(x-17)(x-30)(x-45)(x-13)


Hoe kom ik aan dit antwoord? Je neemt de rij 0 1 17 30 45
Je neemt de verschilrij: 1 16 13 15
Daarvan de verschilrij: 15 -3 2
''' ''' -18 5
'' '''' ''' '''' 23
Polynoom van graad 1 x=23
terugrekenend kom je op x=13

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door SafeX » 28 feb 2016, 13:40

Ok, dan gebruik je een extra gegeven nl dat het nulptn van een 6e gr polynoom zijn ... , ik kom dan op 90

manus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 32
Lid geworden op: 22 feb 2015, 17:03

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door manus » 28 feb 2016, 13:42

Ja maar anders krijg je een niet algebraïsch getal en daar is geen algemene oplossing voor.

manus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 32
Lid geworden op: 22 feb 2015, 17:03

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door manus » 28 feb 2016, 14:07

SafeX schreef:Ok, dan gebruik je een extra gegeven nl dat het nulptn van een 6e gr polynoom zijn ... , ik kom dan op 90
Inderdaad je hebt gelijk rekenen is nooit mijn sterke punt geweest...

manus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 32
Lid geworden op: 22 feb 2015, 17:03

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door manus » 29 feb 2016, 02:48

Het kan ook anders
y = x^6 + ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 +ex
y(0) = 0
y(1) = 1
y(2) = 17
y(3) = 30
y(4) = 45

Door deductie krijg je dan
a = 1/15 - (3/7)*b - 7c
oftewel
b = 7/45 - (7/3)a - (1/3)c
oftewel
c = 1/15 - a - (3/7)b

Wie o wie kan dit verder oplossen?

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door wnvl » 29 feb 2016, 04:25

In Wolfram

Code: Selecteer alles

interpolating polynomial {0,0},{1,1},{2,17},{3,30}, {4,45}

dat brengt je op




en dat levert 90 op voor x=5 zoals SafeX al stelde.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door David » 01 mar 2016, 17:38

Bij een n-de graads polynoom, zijn de tussen 'opeenvolgende' punten n-de verschillen constant. 'Opeenvolgende' wil zeggen dat als de punten van de vorm (x, y) worden gesorteerd op de x-coördinaten, de verschillen tussen twee achtereenvolgende x-coördinaten voor al die paren hetzelfde is. Dat is hier het geval. Dus kunnen we zonder de polynoom.

Code: Selecteer alles

0   1    17     30    45   90*
  1   16    13     15   45*
    15   -3     2    30*
       -18    5    28*
           23   23*
De waarden zonder asterisk zijn gegeven als ze in de bovenste regel staan. Anders zijn ze het verschil van twee elementen erboven, de rechter min de linker.
De waarden met een asterisk zijn gevonden door de bovengenoemde theorie toe te passen. Het vierde verschil is constant, dus ook 23. Dan kan je de andere waarden een voor een vinden.

Mocht je toch een interpolerende polynoom willen vinden, dan kan die ook gevonden worden van de vorm

Waar c_4, c_3, c_2, c_1 en c_0 respectievelijk 23, -18, 15, 1 en 0 zijn, als is af te lezen uit het linkerrijtje van de verschillen.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door arie » 02 mar 2016, 09:12

Is er ook een diepere structuur in de getallenrij te vinden?
Dat is meestal de bedoeling van dit soort puzzels.

Door elk n-tal punten kunnen we immers een (n-1)-de graads polynoom construeren.

Voorbeeld:
1, -2, 3, -4, 5, ...
levert



met f(6) = 106, terwijl g(6) = -6 hier meer voor de hand ligt.

manus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 32
Lid geworden op: 22 feb 2015, 17:03

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door manus » 12 mar 2016, 19:08

arie schreef:Is er ook een diepere structuur in de getallenrij te vinden?
Dat is meestal de bedoeling van dit soort puzzels.

Door elk n-tal punten kunnen we immers een (n-1)-de graads polynoom construeren.

Voorbeeld:
1, -2, 3, -4, 5, ...
levert



met f(6) = 106, terwijl g(6) = -6 hier meer voor de hand ligt.
Je kunt ook gewoon de functie nemen f(x) = ( x + 1)(-1)^x te beginnen met x = 0

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door SafeX » 12 mar 2016, 20:49

(-1)^x is alleen gedefinieerd voor een geheel getal x ...

manus
Vast lid
Vast lid
Berichten: 32
Lid geworden op: 22 feb 2015, 17:03

Re: Cijferreeks puzzel

Bericht door manus » 13 mar 2016, 11:36

Hoe kom je daar in hemelsnaam bij???? X kan ook 1/2 zijn en zelfs een complex getal...

Plaats reactie