Ik denk dat ik de oplossing heb gevonden.
De riem raakt dus de cirkels. Dus moet je de raaklijn aan beide cirkels opstellen. Het raakpunt met de grote cirkel zal zich rechts van het middelpunt van de cirkel bevinden, en dus een hoek t vormen tussen de normaal in het raakpunt en de verticale as, dus de riem is rond de cirkel voor π/2 + t (ik bereken eerst voor het bovenste deel). Bij de kleine cirkel is er eenzelfde redenering, waardoor de riem rond de cirkel is voor π/2 - t. Ik deel de bovenste helft dus opnieuw in 3 delen: (I) de riem rond de grote cirkel voor de hoek π/2 + t; (II) de riem rond de kleine cirkel voor π/2 - t; (III) het rechte deel tussen de raakpunten van de raaklijn aan de cirkels.
(I) en (II)
Eerst moeten we de t proberen te berekenen. Hiervoor laat ik de raaklijn doorlopen tot het de horizontale as snijdt in S.
We noemen het raakpunt in de grote cirkel R en in de kleine cirkel R'. Het middelpunt van de grote cirkel is M en van de kleine cirkel M'. Enkele afstanden: |RM| = 20; |R'M'| = 5; |MS| = 30 + x; |M'S| = x. We hebben nu twee gelijkvormige, rechthoekige driehoeken, namelijk ∆MRS, met hoek MRS = π/2 en ∆M'R'S met hoek M'R'S = π/2. Hiervoor geldt de stelling van Thales: |RM|/|MS| = |R'M'|/|M'S| => 20/(30 + x) = 5/x. Voor x komen we dus 10 uit.
Om t te berekenen kunnen we gebruik maken van de complementaire hoek van t in de kleine cirkel, want hoek R'M'S = π/2 - t
Dan geldt: cos(π/2 - t) = 5/10 => π/2 - t = arccos(1/2) = π/3 => t = π/6.
Dus kunnen we (I) en (II) berekenen:
(I) = 20 * (π/2 + π/6) = 20 * 2π/3 = 40π/3
(II) = 5 * (π/2 - π/6) = 5 * π/3 = 5π/3
(I) + (II) = 45π/3 = 15π
(III)
De lengte van het rechte stuk = |RR'| = |RS| - |R'S|
|RS| = √(40^2 - 20^2) = √(4*20^2 - 20^2) = √(3*20^2) = 20√(3)
|R'S| = √(10^2 - 5^2) = √(4*5^2 - 5^2) = √(3*5^2) = 5√(3)
|RR'| = 20√(3) - 5√(3) = 15√(3)
De totale lengte van het bovenstuk is dus (I) + (II) + (III) = 15π + 15√(3) = 15*(π + √(3))
De lengte van de riem (boven- en onderstuk) is dus 2*15*(π + √(3)) = 30(π + √(3))
Heel erg bedankt voor je tip over dat raken, anders had ik het waarschijnlijk nooit gevonden!
