verklaring formule

[thomasv]

Vraagstuk:

Hoe hoger een toren, hoe verder je kan zien vanaf de top. De formule om de afstand die je kan zien vanaf de toren is a = √13h (dat is een wortel teken, en voor degene die het niet weten of vergeten zijn; tussen de 13 en de ''h'' staat een x teken).

a is de afstand in kilometers en h is de hoogte in meters.


Nu is de vraag.

Hoe komt men aan die formule om het zicht uit te rekenen vanaf een bepaalde hoogte?

De leraar heeft de klas uitgedaagt, hij is al oud en in al die jaren op deze school werken was er maar 1 leerling die er achter was gekomen.

Succes


,

Thomas

[luijs]

Bedoel je dus
a) (wortel 13) * h
b) wortel(13 * h)
??


Maar buiten dat. Maak er eens een tekening van voor jezelf, zet er eens wat cijfers/letters bij en maak eens een beginnetje. We gaan hier niks voorzeggen, alleen maar helpen...

[lumni]

Ik heb hier een eind op zitten zoeken. Ik denk dat ik een oplossing heb gevonden, maar ik ben niet zeker of die juist is.

Ik heb geen tekening, dus ik zal het zo proberen uit te leggen: We tekenen een cirkel die de aarde voorstelt. Daarop tekenen we de toren met hoogte h. Uit de top van die toren (dit punt noemen we A) trekken we een raaklijn aan de cirkel. Het raakpunt is het verste punt dat je kan zien vanop die toren (dit punt noemen we B). De afstand tussen A en B is de gevraagde a. Het middelpunt van de cirkel noemen we M.

Nu hebben we een driehoek ABM, die rechthoekig is in B. Dit komt omdat de benen van de hoek B de raaklijn en de straal van een cirkel zijn, die staan altijd loodrecht. De zijde tussen A en B heeft dus als afstand a, de zijde tussen B en M heeft r (straal van de aarde) als afstand. De zijde tussen A en M heeft dan r + h als afstand.

Met pytagoras bekomen we dan:

a² + r² = (r + h)²
a² = r² + 2rh + h² - r²
a² = 2rh + h²
a² = h (2r + h)
2r = de diameter van de aarde. Dit is na afronding ongeveer 13000 km = 13 . 10^6 m. De 2e h wordt hierbij zo verwaarloosbaar klein dat we die kunnen weglaten. Dan krijg je:
a² = h . 13 . 10^6
a = wortel (13 . h) . 10^3
Dit is in meter, om het om te zetten in kilometer krijg je dus:
a = wortel (13 . h)

Ik weet deze formule niet exact is, maar ik denk dat het zo bedoeld was door die leerkracht.
Kan er mij iemand verbeteren als het four is, of bevestigen als ik juist ben.

Merci