combinaties

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
digi
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 23 mar 2013, 10:05

combinaties

Bericht door digi » 20 okt 2016, 22:55

Hallo,

ik ben vrij leek op het gebied van wiskunde. Voor een kleine oefening in software wil ik het volgende weten:

Ik heb een reeks van 25 adressen. Deze wil ik vullen met 5 kleuren, maar nooit met meer dan 5 van dezelfde kleur in de hele verzameling.

Hoe bereken ik de mogelijke unieke combinaties?

Deze wil ik graag uitreeksen.

digi.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: combinaties

Bericht door arie » 21 okt 2016, 00:16

Als je 25 adressen (1, 2, 3, ... , 24, 25) wil kleuren met 5 kleuren en elke kleur maximaal 5 keer mag gebruiken, moet je van alle 5 beschikbare kleuren precies 5 gebruiken.
Bijvoorbeeld 5*rood, 5*groen, 5*blauw, 5*geel en 5*paars.

Elke volgorde van deze 5*5 = 25 kleuren is een kleuring van je adressen.
Als we ze tellen, dan zijn er 25! = 15511210043330985984000000 mogelijke volgorden = rangschikkingen, indien er 25 verschillende kleuren zouden zijn.
Nu hebben we van elke kleur 5 exemplaren. Als we de adressen die dezelfde kleur hebben onderling wisselen, heeft dat geen effect op de totale kleuring. Binnen elke kleur kunnen we de adressen op 5! = 120 manieren onderling wisselen. En dat geldt voor elk van de 5 kleuren.
We moeten die 25! mogelijkheden dus nog delen door 5!^5 = 120^5

In totaal zijn er dus



verschillende kleuringen van je adressen mogelijk.

Al die verschillende kleuringen uitprinten lijkt me wat te ambitieus.

Kan je nu zelf eens uitrekenen hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn met
9 adressen (1, 2, 3, ..., 8, 9)
en 3*3 kleuren (3*rood, 3*groen, 3*blauw) ?

digi
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 23 mar 2013, 10:05

Re: combinaties

Bericht door digi » 22 okt 2016, 19:17

Okay,

Als ik drie kleuren wil plaatsen over de negen adressen kom ik op:



Stel nu, dat ik de 5 kleuren wil plaatsen op een van de negen adressen





Waarvan ik 4, 2, 8, en 6 niet meeneem.

dan heb ik 1 + 5 + 9 + 3 + 7 = 25 adressen.

maar ik wil op de adressen onderling, niet meer dan X kleuren tekenen ( dit mag bijvoorbeeld 2 of 3 zijn )

Hoeveel mogelijke combinaties heb ik dan?

alvast bedankt,

digi.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: combinaties

Bericht door arie » 23 okt 2016, 00:09

digi schreef:... Stel nu, dat ik de 5 kleuren wil plaatsen op een van de negen adressen





Waarvan ik 4, 2, 8, en 6 niet meeneem.
dan heb ik 1 + 5 + 9 + 3 + 7 = 25 adressen.
...
Hoe zit dit precies???
Eerst zeg je 9 adressen, dan haal je er 4 af en hou je 25 adressen over.
Iets klopt daar niet.
Bedoel je wellicht 9 locaties met elk plaats voor het gegeven cijfer aantal kleuren?
Bijvoorbeeld: op de 5 (in het midden van je 3 x 3 veld) is er plaats voor 5 kleuren?
Of is het probleem nog anders??

digi
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 6
Lid geworden op: 23 mar 2013, 10:05

Re: combinaties

Bericht door digi » 23 okt 2016, 08:45

Ik puzzel hier al een tijdje mee, maar volgens mij kan dit.

Afbeelding

Ik zie lichte en donkere plaatsen.

de lichte plaatsen bevatten 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 adressen.

die wil ik kleuren met de vijf kleuren (rood, groen, blauw, geel, en paars) En, net als in de eerste vraag, heb ik maar vijf van elke kleur.

als ik op elk van de 5 lichte groepen slechts 2 kleuren mag tekenen dan mag ik op plek negen bijvoorbeeld 4 groene kleuren tekenen en 5 rode. Maar dan houd ik 1 groene over.

volgens mij zit hier wetmatigheid in. En kan ik dit doen als op op elk van de 5 lichte groepen 2 kleuren mag tekenen, maar ook met 3.

maar 1 kleur per groep kan dan natuurlijk weer niet (we hebben immers maar vijf kleuren te tekenen).

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: combinaties

Bericht door arie » 23 okt 2016, 13:38

Dit is prima als oefening in software.
Je kan eerst een voorbeeldberekening met de hand maken, en daarna het algemene geval proberen te programmeren.

Voorbeeld:
5 x 5 kleuren, maximaal 2 verschillende kleuren per groep:
Noteer het aantal kleuren van {rood, groen, blauw, geel, paars} = {5,5,5,5,5}

Groep van 9:
kleuren met {5,4} = 5 van een kleur + 4 van een andere kleur, we houden over:
{0,1,5,5,5}
Het aantal mogelijkheden om 2 kleuren uit 5 beschikbare kleuren (bv blauw en geel) te kiezen =

Met die 2 kleuren zijn er 2 invullingen mogelijk: (5*kleur1+4*kleur2) of (4*kleur1+5*kleur2)
Het aantal mogelijkheden om de 9 plaatsen met deze kleuren te vullen =

Er zijn voor de groep van 9 dus 2 * 10 * 126 = 2520 verschillende kleuringen mogelijk.

Groep van 7:
We hebben nu kleuraantallen {1,5,5,5}.
- kleuren met {5,2}: we houden over: {0,1,3,5}
- kleuren met {4,3}: we houden over: {1,1,2,5}
bepaal voor elke situatie weer het aantal mogelijke kleurcombinaties en het aantal manieren om de groep van 7 daarmee te vullen.

Groep van 5:
In het geval van kleuraantallen {1,3,5}:
- kleuren met {5,0}: we houden over: {0,1,3}
- kleuren met {4,1}: we houden over: {0,1,3} of {1,1,2}
- kleuren met {3,2}: we houden over: {0,1,3} of {1,1,2}
In het geval van kleuraantallen {1,1,2,5}:
- kleuren met {5,0}: we houden over: {1,1,2}
- kleuren met {4,1}: we houden over: {0,1,1,2} of {1,1,1,1}
- kleuren met {3,2}: we houden over: {1,1,2}

etc.

Bereken steeds voor elke groep het aantal mogelijke kleurcombinaties en het aantal mogelijke kleuringen.
Het eindresultaat kan je daaruit afleiden.
Computers zijn zeer geschikt om dit soort berekeningen te maken.

Kom je zo verder?

PS:
Ter controle:
ik kom uit op deze getallen:
maximaal 2 kleuren per groep: 115577280 mogelijkheden
maximaal 3 kleuren per groep: 2085108117120 mogelijkheden
maximaal 4 kleuren per groep: 165092276805120 mogelijkheden
maximaal 5 kleuren per groep: 623360743125120 mogelijkheden
en dit laatste aantal is gelijk aan het aantal mogelijkheden van je eerste probleem.

Plaats reactie