Twee vierkanten

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.

Twee vierkanten

Berichtdoor pazzie » 21 Nov 2016, 15:47

Gegeven: Twee vierkanten die over elkaar heen liggen. Een vierkant heeft zijde 1, het andere vierkant heeft zijde wortel 2. Het middelpunt van het grote vierkant ligt in of op de rand van het kleine vierkant.

Gevraagd: Te bewijzen dat de oppervlakte van de doorsnijding van de twee vierkanten minimaal 1/2 bedraagt.

Ik zit er al een tijd op te puzzelen maar heb nog geen sluitend bewijs kunnen vinden.
pazzie
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 21 Nov 2016, 15:41

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor SafeX » 21 Nov 2016, 16:17

Heb je een tekening, kan je een functie van de samenvallende opp opstellen ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14146
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor pazzie » 21 Nov 2016, 17:06

Met wolframalfa.com kun je het als volgt berekenen voor het speciale geval dat grote vierkant 45 graden gedraaid is en middelpunt van grote vierkant op hoekpunt kleine vierkant ligt:

Integrate[Boole[x+y<=1]Boole[x-y<=1]Boole[x+y>=-1]Boole[x-y>=-1], {x,0,1}, {y,0,1}] = 1/2

Voor andere draaiingshoeken en verschuivingen is het ook uit te rekenen, alleen dat schrijft wat langer.
Maar ik zoek eigenlijk een (liefst kort :-) ) geometrisch bewijs...
pazzie
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 21 Nov 2016, 15:41

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor SafeX » 21 Nov 2016, 17:17

Maar dan ben je er toch, zodra het middelpunt van het grote vierkant op dan wel binnen het kleine vierkant lig heb je een grotere overlapping ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14146
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor pazzie » 21 Nov 2016, 17:18

Plaatje kun je ook vinden met http://www.wolframalpha.com, door bijvoorbeeld het volgende in te voeren:

intersection of square 1x1 and square sqrt(2) x sqrt(2) rotated 45 degrees center (.5,.5)

(Ik weet niet hoe ik hier een plaatje toe kan voegen, anders had ik het resultaat van bovenstaande even bijgevoegd...)
pazzie
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 21 Nov 2016, 15:41

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor pazzie » 21 Nov 2016, 17:23

Ik zie nog niet direct een altijd grotere intersectie. De overlapping kan ook weer kleiner worden zodra een punt er uit gaat steken...
pazzie
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 21 Nov 2016, 15:41

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor pazzie » 21 Nov 2016, 17:29

Als je bijvoorbeeld het grote vierkant 40 graden draait met

intersection of square 1x1 and square sqrt(2) x sqrt(2) rotated 40 degrees center (.5,.5)

en je laat hem daarna een stukje zakken is het niet meteen duidelijk dat het oppervlakte altijd groter wordt.
pazzie
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 21 Nov 2016, 15:41

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor SafeX » 22 Nov 2016, 10:25

Plaats het midden van het grote vierkant (G) in een hoekpunt van het kleine vierkant (V), zo dat de diagonalen van G samenvallen met de zijden van V. Hoe groot is de opp van de overlapping, noem dit O? O=...
Roteer G over een hoek alpha om het hoekpunt (bv in wijzerrichting). Dan is O= ... ?
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14146
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor pazzie » 22 Nov 2016, 10:51

Als het middelpunt van het grote vierkant in het hoekpunt van het kleine vierkant ligt dan is eenvoudig in te zien dat de oppervlakte van de overlapping precies 1/2 is, onafhankelijk van de draaihoek van het grote vierkant. Het kleine vierkant hapt dan namelijk exact een kwart van het grote vierkant, die een oppervlakte van 2 heeft.
Het andere eenvoudige geval is als de middelpunten samenvallen. Dan wordt het kleine vierkant altijd geheel overdekt en is de overlapping dus 1.

Blijft over de andere gevallen...
pazzie
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 21 Nov 2016, 15:41

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor SafeX » 22 Nov 2016, 11:49

Prima, laat nu het midden van G langs een zijde van V lopen, stel de afstand tot het hoekpunt x ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14146
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor pazzie » 23 Nov 2016, 13:18

Als je het antwoord weet SafeX mag je het gerust geven hoor, ben ik alleen maar blij mee! :-)
pazzie
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 21 Nov 2016, 15:41

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor SafeX » 23 Nov 2016, 14:16

pazzie schreef:Als je het antwoord weet SafeX mag je het gerust geven hoor, ben ik alleen maar blij mee! :-)


Ik ga er van uit, dat je zelf wilt puzzelen ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14146
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor pazzie » 24 Nov 2016, 09:57

SafeX schreef:Ik ga er van uit, dat je zelf wilt puzzelen ...

Ik houd zeker van puzzelen en wil er ook weer mee verder gaan zodra ik wat meer tijd heb. Maar alle hulp, suggesties en oplossingen zijn van harte welkom!
:-)
pazzie
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 21 Nov 2016, 15:41

Re: Twee vierkanten

Berichtdoor pazzie » 26 Nov 2016, 22:49

Ik ben weer een stukje verder gekomen (als ik geen fout heb gemaakt tenminste!).
Ik heb het speciale geval bekeken waarbij het grote vierkant 45 graden gedraaid is. Het linksonder hoekpunt van het kleine vierkant ligt op (0,0), het middelpunt van het grote vierkant ligt op (x,y), met 0<=x<=1, 0<=y<=1. Het is dan eenvoudig in te zien dat er (in het algemeen) vier punten van het grote vierkant buiten het kleine vierkant steken, met mogelijk wat overlap tussen deze vier punten) en dat de oppervlakte van deze vier punten x^2, y^2, (1-x)^2 en (1-y)^2 bedraagt.
Er zijn altijd maximaal twee stukjes overlappend in deze vier punten met oppervlakte 0.5*(1-x-y)^2 en 0.5*(y-x)^2.
Dan kom ik op een oppervlakte van de overdekking van het kleine vierkant door het grote vierkant van

2-x^2-y^2-(1-x)^2-(1-y)^2+0.5*(1-x-y)^2+0.5*(y-x)^2 = 0.5 + x*(1-x) + y*(1-y)

Hetgeen duidelijk altijd minimaal 0.5 bedraagt.

Gezien de eenvoud van de formule zou het me niet verbazen als er een eenvoudigere afleiding is...
Maar ik ga eerst eens kijken of ik het op deze manier ook voor willekeurige verdraaiingshoek uit kan rekenen.
:-)
pazzie
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 13
Geregistreerd: 21 Nov 2016, 15:41


Terug naar Wiskundige puzzels

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: William Kl en 3 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 4 gebruikers online :: 1 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: William Kl en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.