vermenigvuldigen tot in oneindig

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
3,1415
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 17 sep 2017, 12:52

vermenigvuldigen tot in oneindig

Bericht door 3,1415 » 17 sep 2017, 13:02

Dag allemaal
Op school heb ik volgende bewerking gekregen waar niemand de oplossing van kan vinden, zou iemand ons hier misschien kunnen helpen?
Π (n^3-1)/(n^3+1) met Pi tot in oneindig en vanaf n=2.
Alvast bedankt voor de hulp!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3045
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Bericht door arie » 17 sep 2017, 16:12

Kijk eerst naar het deelproduct voor n = 2 t/m k:



ontbind de teller en noemer:



en dit kunnen we ook schrijven als:



nu is de teller van de eerste breuk:



en de noemer van de eerste breuk:



en wordt de eerste breuk als geheel:



De tweede breuk is iets lastiger: daar zitten we met n^2 - n + 1 in de noemer, terwijl we net als in de teller n^2 + n + 1 zouden willen.
We kunnen dat minteken niet zomaar in plus veranderen.
Maar kijk eens wat er gebeurt als we dat wel zouden doen, en het laatste product niet n = k, maar n = (k-1) zouden nemen:
de laatste factor wordt dan:



Dit is precies de laatste factor van het oorspronkelijke product.
Natuurlijk geldt ditzelfde voor elke afzonderlijke factor.
Met andere woorden: we kunnen het hele product 1 eenheid opschuiven:



en voor de teller van de tweede breuk hebben we:



We houden voor de tweede breuk dus over:




Als we nu bovenstaande resultaten combineren, dan vinden we:




Nu alleen nog het product voor n van 2 naar oneindig:



Lukt het je om deze limiet te bepalen?

3,1415
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 17 sep 2017, 12:52

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Bericht door 3,1415 » 18 sep 2017, 16:12

Van deze limiet lukt het mij wel! Bedankt voor de oplossing, nu alleen nog proberen te begrijpen! :lol:

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14217
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Bericht door SafeX » 18 sep 2017, 19:12

3,1415 schreef:Dag allemaal
Op school heb ik volgende bewerking gekregen waar niemand de oplossing van kan vinden, zou iemand ons hier misschien kunnen helpen?
Π (n^3-1)/(n^3+1) met Pi tot in oneindig en vanaf n=2.
Alvast bedankt voor de hulp!
Het is niet de bedoeling je deze opgave uitgewerkt aan te geven.
Hoever ben je in wiskundig opzicht.

Hint: werk de factoren (n-1)/(n+1) en (n^2+n+1)/(n^2-n+1) apart uit voor n=2 t/m 9 en kijk wat er gebeurt ...

3,1415
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 17 sep 2017, 12:52

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Bericht door 3,1415 » 19 sep 2017, 15:58

Sorry daarvoor dan.
Bedankt voor de tip!

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14217
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Bericht door SafeX » 19 sep 2017, 19:58

Wil je echt begrijpen wat er gebeurt in de formules?

Een verontschuldiging is niet nodig. Jij stelt je vraag en het is aan ons hoe te reageren.

3,1415
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 17 sep 2017, 12:52

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Bericht door 3,1415 » 22 sep 2017, 06:09

Ik snap wat er gebeurt in de formules na zelf alles eens te hebben uitgeschreven. Toch bedankt voor de aangeboden hulp!

Plaats reactie