Pagina 1 van 1

vermenigvuldigen tot in oneindig

Geplaatst: 17 sep 2017, 13:02
door 3,1415
Dag allemaal
Op school heb ik volgende bewerking gekregen waar niemand de oplossing van kan vinden, zou iemand ons hier misschien kunnen helpen?
Π (n^3-1)/(n^3+1) met Pi tot in oneindig en vanaf n=2.
Alvast bedankt voor de hulp!

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Geplaatst: 17 sep 2017, 16:12
door arie
Kijk eerst naar het deelproduct voor n = 2 t/m k:



ontbind de teller en noemer:



en dit kunnen we ook schrijven als:



nu is de teller van de eerste breuk:



en de noemer van de eerste breuk:



en wordt de eerste breuk als geheel:



De tweede breuk is iets lastiger: daar zitten we met n^2 - n + 1 in de noemer, terwijl we net als in de teller n^2 + n + 1 zouden willen.
We kunnen dat minteken niet zomaar in plus veranderen.
Maar kijk eens wat er gebeurt als we dat wel zouden doen, en het laatste product niet n = k, maar n = (k-1) zouden nemen:
de laatste factor wordt dan:



Dit is precies de laatste factor van het oorspronkelijke product.
Natuurlijk geldt ditzelfde voor elke afzonderlijke factor.
Met andere woorden: we kunnen het hele product 1 eenheid opschuiven:



en voor de teller van de tweede breuk hebben we:



We houden voor de tweede breuk dus over:




Als we nu bovenstaande resultaten combineren, dan vinden we:




Nu alleen nog het product voor n van 2 naar oneindig:



Lukt het je om deze limiet te bepalen?

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Geplaatst: 18 sep 2017, 16:12
door 3,1415
Van deze limiet lukt het mij wel! Bedankt voor de oplossing, nu alleen nog proberen te begrijpen! :lol:

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Geplaatst: 18 sep 2017, 19:12
door SafeX
3,1415 schreef:Dag allemaal
Op school heb ik volgende bewerking gekregen waar niemand de oplossing van kan vinden, zou iemand ons hier misschien kunnen helpen?
Π (n^3-1)/(n^3+1) met Pi tot in oneindig en vanaf n=2.
Alvast bedankt voor de hulp!
Het is niet de bedoeling je deze opgave uitgewerkt aan te geven.
Hoever ben je in wiskundig opzicht.

Hint: werk de factoren (n-1)/(n+1) en (n^2+n+1)/(n^2-n+1) apart uit voor n=2 t/m 9 en kijk wat er gebeurt ...

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Geplaatst: 19 sep 2017, 15:58
door 3,1415
Sorry daarvoor dan.
Bedankt voor de tip!

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Geplaatst: 19 sep 2017, 19:58
door SafeX
Wil je echt begrijpen wat er gebeurt in de formules?

Een verontschuldiging is niet nodig. Jij stelt je vraag en het is aan ons hoe te reageren.

Re: vermenigvuldigen tot in oneindig

Geplaatst: 22 sep 2017, 06:09
door 3,1415
Ik snap wat er gebeurt in de formules na zelf alles eens te hebben uitgeschreven. Toch bedankt voor de aangeboden hulp!