Cube Loop

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.

Cube Loop

Berichtdoor Marcelo Pars » 17 Okt 2017, 18:15

Ik heb een nieuw spelletje gemaakt en dat heb ik CUBE LOOP genoemd. Hier twee plaatjes.

In dit eerste plaatje zie je de puzzel.

Afbeelding

In het tweede plaatje zie je de oplossing.

Afbeelding

In de puzzel zijn er 2 rode kubusjes, 2 gele, 2 groene, 2 blauwe, en zo zijn er in deze puzzel 10 paren die je allemaal met elkaar moet verbinden. Het was niet zo moeilijk een puzzel te maken en (als je het ooit zou spelen) dan is het bij 10 paren ook niet erg moeilijk om de puzzel op te lossen.

Maar ik heb de puzzels ook gemaakt met maar slechts 6 kleuren paren. Daar kwam ik al gauw met problemen bij het maken van deze puzzels. Als ik een puzzel gemaakt had (dus 12 kubusjes gekleurd waarvan steeds 2 van dezelfde kleur) dan merkte ik regelmatig dat de puzzel op meerdere manieren was op te lossen terwijl ik wil dat de puzzel slechts op één manier is op te lossen (en dat ook geen enkel kubusje grijs blijft). Ik heb geen idee hoe ik dit wiskundig kan vastleggen. Het zal iets met grafen en knopen te maken hebben, maar ik weet zelfs niet hoe ik moet beginnen.

Ik hoor graag of iemand hier iets zinnigs kan zeggen.
Marcelo Pars
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 8
Geregistreerd: 19 Mrt 2017, 11:46

Re: Cube Loop

Berichtdoor arie » 23 Okt 2017, 22:00

Als graaf kan je definieren:
- knopen: de 56 (buiten)blokken van je 4x4x4 kubus (de centrale 8 doen niet mee)
- kanten: verbinden blokken die naast elkaar liggen.
Hieronder heb ik de blokken van het voorvlak van de kubus genummerd 0 t/m 15, het achtervlak 40 t/m 55. Je ziet hier dus een transparante versie van de kubus:

Afbeelding

Om van de wat onoverzichtelijke kruisende lijnen af te komen mag je de graaf ook iets anders tekenen: de blokken 5, 6, 9 en 10 van het voorvlak naar buiten geklapt (merk op dat alle verbindingen = kanten tussen alle knopen ongewijzigd blijven):

Afbeelding

Uitgaande van dit probleem met 6 kleurenparen:

Afbeelding

zoeken we nu paden tussen de 2 knopen van elk kleurenpaar, zodanig dat elke knoop van de graaf precies 1 maal bezocht wordt (er blijven dan geen grijze blokken over).

Dit is een van de mogelijke oplossingen die je kan vinden:

Afbeelding

Dat deze oplossing niet uniek is, kan je zien aan:

[1] Meerdere mogelijkheden binnen 1 pad. Voorbeeld: het paarse pad is nu:
15-22-34-35-47-46-45-54-55-48-36-37-49
en dit kan je ongestraft vervangen door:
15-22-34-46-45-54-55-48-47-35-36-37-49

[2] Meerdere mogelijkheden tussen 2 of meer paden. Voorbeeld: nu is
blauw = 1-2-6-7-11-21-20-19-3
paars = 15-22-34-35-47-46-45-54-55-48-36-37-49
maar kan je knopen 11 en 21 ongestraft tussen deze 2 paden uitwisselen:
blauw = 1-2-6-7-20-19-3
paars = 15-11-21-22-34-35-47-46-45-54-55-48-36-37-49

Om een puzzel met een unieke oplossing te maken mogen dergelijke situaties dus niet bestaan.

Dit zal met 6 kleurenparen inderdaad heel moeilijk worden. Een andere manier om dit in te zien is door eerst de kleurenparen te verbinden met korte paren, bijvoorbeeld zo:

Afbeelding

en daarna deze paden te wijzigen of uit te breiden totdat alle overgebleven grijze blokken ook gekleurd zijn.
Dit kan op meerdere manieren, waardoor er geen unieke oplossing is.


Wellicht is het een idee je spel uit te breiden met extra regels waardoor je het aantal mogelijke oplossingen verkleint.
Bijvoorbeeld: de knopen aan de uiteinden van de paden mogen 1 buur hebben met de eigen padkleur, de overige knopen van elk pad mogen precies 2 buren hebben met de eigen padkleur (dan voldoet bovenstaande volledige oplossing niet meer, bijvoorbeeld: de buren van knoop 47 (= knoop 35, 46, 48 en 54) hebben zelfs alle vier de eigen padkleur paars).
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3003
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Cube Loop

Berichtdoor Marcelo Pars » 28 Okt 2017, 14:13

Beste Arie,

Bedankt weer voor je reactie en wat een nette manier om in het platte vlak de kubus te tekenen! Ik heb lang aan het spelletje gewerkt maar nooit gedacht om zo de kubus in het platte vlak inzichtelijk te maken.

Jouw suggestie om het spelletje aan te passen met extra regels is precies wat ik al gedaan heb. Als je het spelletje zou spelen dan zie je dat je dat de oplossing altijd is volgens jouw regel:
de knopen aan de uiteinden van de paden mogen 1 buur hebben met de eigen padkleur, de overige knopen van elk pad mogen precies 2 buren hebben met de eigen padkleur


Verder zeg je
Dit zal met 6 kleurenparen inderdaad heel moeilijk worden.


Ik heb met zes kleuren toch 70 spelletjes gemaakt die allemaal slechts één unieke oplossing hebben (hoewel ik dat laatste slechts vermoed omdat ik eenvoudigweg geen andere oplossing in praktijk kan vinden). En deze oplossing voldoet aan de eerste quote en aan de regel dat geen enkel blokje grijs blijft.

Ik stel je maar meteen een andere vraag. Er zijn puzzels te maken met 6 kleuren (dat weet ik uit de praktijk) maar is het ook mogelijk om er een te maken met slechts 5 kleuren? Nogmaals: in de oplossing mag geen enkel blokje grijs blijven en moet voldaan worden aan de eerste quote..
Marcelo Pars
Nieuw lid
Nieuw lid
 
Berichten: 8
Geregistreerd: 19 Mrt 2017, 11:46

Re: Cube Loop

Berichtdoor arie » 31 Okt 2017, 22:46

Leuk probleem.
Komende 2 weken heb ik erg weinig tijd, daarna hoop ik er verder aan te kunnen werken (tenzij het dan inmiddels al is opgelost).
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3003
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19


Terug naar Wiskundige puzzels

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Google [Bot] en 3 gasten

cron

Wie is er online?

Er zijn in totaal 4 gebruikers online :: 1 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Google [Bot] en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.