Bewijs

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Bewijs

Bericht door JackMol » 02 dec 2018, 19:30

Bewijs door gebruik te maken van verwante hoeken:

4sin(120graden)^3+3sin(240graden)=0

Bedankt

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bewijs

Bericht door arie » 02 dec 2018, 22:24

Kan je sin(120 graden) uitdrukken in de sinus van een hoek alfa tussen 0 en 90 graden?
Kan je sin(240 graden) ook uitdrukken in de sinus van diezelfde hoek alfa?

Kom je zo verder?

JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Re: Bewijs

Bericht door JackMol » 03 dec 2018, 07:43

Bedankt maar nee.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bewijs

Bericht door arie » 03 dec 2018, 10:13

Afbeelding

Als we de hoeken uitzetten op de eenheidscirkel krijgen we bovenstaand plaatje.

We zoeken nu de hoek alfa (rood) waarvoor geldt:
\(\sin(\alpha) = \sin(120^{\circ})\)

Om cosinussen te herleiden zijn er verschillende formules:
\(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\)
\(\cos(180^{\circ}-\alpha) = -\cos(\alpha)\)
\(\cos(\alpha+360^{\circ}) = \cos(\alpha)\)

Wat zijn de vergelijkbare formules voor sinussen?
Kan je nu hoek alfa vinden?

JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Re: Bewijs

Bericht door JackMol » 03 dec 2018, 22:28

Beste,

Ik heb hoek alpha=60graden maar wat moet ik nu doen? Antwoord alstublieft zo snel mogelijk, bedankt.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bewijs

Bericht door arie » 04 dec 2018, 01:36

Klopt,

\(\sin(120^{\circ})=\sin(60^{\circ})\)
en
\(\sin(240^{\circ})=-\sin(60^{\circ})\)

Dit hoef je alleen nog maar in te vullen in je oorspronkelijke vergelijking:

\(4\sin(120^{\circ})^3 + 3\sin(240^{\circ}) \)
\(= 4\sin(60^{\circ})^3 - 3\sin(60^{\circ}) \)
\(= \sin(60^{\circ}) \left[4\sin(60^{\circ})^2 - 3\right] \)

en de waarde van \(\sin(60^{\circ})\) kennen we:
\(\sin(60^{\circ}) = \frac{1}{2}\sqrt{3}\)
Vul dit in in de laatste vergelijking, wat komt daar dan uit?

Plaats reactie