Red mij

[Mhp]

2 reddingszwemmers moeten zwemmer redden.
1 rent en zwemt in rechte lijn, kortste weg.
2loopt een heel stuk over strand en duikt dan water in.

Strandpost staat 35 meter bij zee vandaan
Drenkeling 14m van de kust. Beweegt niet
Afstand Strandpost tot drenkeling langs kust is 75m

1 neemt kortste route
2 de snelste.

2 is sneller bij drenkeling. Hoeveel sneller.

Kom er niet uit. Mijn hulpjes hebben allemaal andere berekeningen.
Wie helpt?

[arie]

Is er ook bekend met welke snelheden de redders kunnen lopen en zwemmen?

[Mhp]

Nee ik ga uit van 2, 17 'm per sec voor zwemmer en 4,1 'm per sec voor lopen

[arie]

In dit plaatje is
S = strandpost
D = drenkeling
W = het punt waar de strandwacht het water in gaat

Definieer
de afstand TW = x
dan is
de afstand WR = 75-x

Volgens de stelling van Pythagoras is dan de afgelegde afstand over land:
\(SW = \sqrt{x^2 + 35^2}\)
en de afgelegde afstand in het water:
\(WD = \sqrt{(75-x)^2+14^2} = \sqrt{(x-75)^2+14^2}\)

Omdat
\(\text{afstand}=\text{snelheid} \times \text{tijd}\)
ofwel
\(\text{tijd}=\frac{\text{afstand}}{\text{snelheid}}\)
is de totale tijd t nodig om de drenkeling te bereiken:

\(t = t_{land} + t_{water} = \frac{\sqrt{x^2 + 35^2}}{v_{land}}+\frac{\sqrt{(x-75)^2+14^2}}{v_{water}}\)

waarbij gegeven:
- de snelheid over land \(v_{land} = 4.1\) m/s
- de snelheid in het water \(v_{water} = 2.17\) m/s

We hebben nu tijd t als functie f van x, het punt waar de strandwacht het water in gaat:

\(t = f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 35^2}}{4.1}+\frac{\sqrt{(x-75)^2+14^2}}{2.17}\)

Als de strandwacht in rechte lijn naar de drenkeling gaat, moet
de verhouding 35 : x gelijk zijn aan de verhouding 49 : 75
dus

\(x=\frac{35 \times 75}{49} = \frac{375}{7} \approx 53.57142857\)

en is de benodigde tijd:

\(t = f\left(\frac{375}{7} \right) = 27.40330390688976877434...\) seconden


Het minimum van t (= de snelste route) vinden we door f ' = de afgeleide functie van f nul te stellen en daaruit x op te lossen:

\(f'(x) = \frac{x}{4.1\cdot \sqrt{x^2 + 35^2}}+\frac{x-75}{2.17\cdot \sqrt{(x-75)^2+14^2}} = 0\)

Deze vergelijking kan je numeriek oplossen.
De reële oplossing tussen 0 en 75 is dan:

\(x = 67.5467557190699571970616...\)

en dan is

\(t = f(67.5467557190699571970616...) = 25.8640514656408674329897...\) seconden


Hier nog een lijstje met tijden:

Code: Selecteer alles

x:      t = f(x):
---------------------------------------
0       43.69579192845729742399390802
1       43.24637383047758861119172704
2       42.80412591440570248693662892
3       42.36903123384502134874442490
4       41.94105668002375289411594710
5       41.52015351679962410263141251
6       41.10625810011852449123606003
7       40.69929276361861531925615501
8       40.29916684837936136965554747
9       39.90577785214491594241780469
10      39.51901267176733475601606826
11      39.13874891211132438169949359
12      38.76485623516981744375241901
13      38.39719772453855599995171266
14      38.03563124253144532032135029
15      37.68001075990929059575789834
16      37.33018764125953257107313704
17      36.98601187232809098739603646
18      36.64733321890849806445360463
19      36.31400231010506713270755368
20      35.98587164180147590037130912
21      35.66279649890910460287997087
22      35.34463579739438754459707423
23      35.03125284917037400769227422
24      34.72251605468519177040517944
25      34.41829952946679567569312422
26      34.11848367201962424915048293
27      33.82295568135365775756838479
28      33.53161003310422784802040314
29      33.24434892371863895343353275
30      32.96108269259053153862206638
31      32.68173023236128354567313710
32      32.40621939792415432466704870
33      32.13448742500375320601163267
34      31.86648136958114490397671014
35      31.60215857993219211920569428
36      31.34148721368118860039639879
37      31.08444681308065788885628476
38      30.83102895274891872861051260
39      30.58123797536818995942635332
40      30.33509183240768930804606765
41      30.09262304883016596967976501
42      29.85387983300982687305924576
43      29.61892735577825439407906989
44      29.38784922566431000160076167
45      29.16074919103974701594768263
46      28.93775310404696022651850307
47      28.71901118586778427018272496
48      28.50470063805063350837565219
49      28.29502865013952853568744497
50      28.09023585953071607809627261
51      27.89060032494952820755361632
52      27.69644207958210172624342074
53      27.50812833275295754356739321
54      27.32607938864327772607418638
55      27.15077534471325630122658153
56      26.98276361805424007746382450
57      26.82266732035788489772327853
58      26.67119445535284100142065427
59      26.52914783816353712214765587
60      26.39743552356203914497291919
61      26.27708136694001555544511326
62      26.16923511452722598217389949
63      26.07518111626325848476797699
64      25.99634437137462786282514014
65      25.93429216514352430850929705
66      25.89072907767357491677013956
67      25.86748273083712042456715667
68      25.86647743977007487919548734
69      25.88969316738262756362089451
70      25.93910809881026189558120421
71      26.01662497020093327127110752
72      26.12398403697671336623457109
73      26.26266894481463894618580125
74      26.43381502922473216338436476
75      26.63813163157562180923116811

[Mhp]

Dank je wel, ik ga het eens goed bekijken.