Muntjes gooien

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
peit hol
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 17 jun 2019, 09:58

Muntjes gooien

Bericht door peit hol » 17 jun 2019, 10:15

Hi,

Ik moet onderzoeken hoe groot de kans is dat je met een eerlijke munt 16 keer achter elkaar kop gooit. Met hele reeksen van 16 is de kans 1 op 65536. Alleen kan een reeks van 16 bij bijvoorbeeld de 8e gooi onder broken door munt ipv kop. Dan zou die reeks hervat kunnen worden vanaf de 9e gooi en verder gaan in een nieuwe reeks. Hoe zou ik daarvan de kans kunnen berekeken? Kan iemand mij helpen? Alvast bedankt!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3231
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Muntjes gooien

Bericht door arie » 17 jun 2019, 14:59

Als je met de kans bedoelt:
de kans dat je na precies n keer gooien je eerste rijtje van 16 opeenvolgende koppen tegenkomt,
kijk dan eerst naar een eenvoudiger probleem:

De kans dat je na precies n keer gooien je eerste rijtje van 3 opeenvolgende koppen tegenkomt.

Met n=0, 1 of 2 keer gooien zal je nooit een rijtje van 3 koppen krijgen, de kans op 3 koppen is dan nul.

Met n=3 keer gooien is lukt dit voor het eerst: KKK, met een kans van \((1/2)^3 = 1/8\)

Met n=4 keer gooien moet je eindigen met KKK, dat betekent dat de 2e, 3e en 4e worp een K moeten zijn.
De eerste worp moet nu een M zijn, anders waren we na 3 keer gooien al klaar met de 3 K's.
De kans op MKKK = \((1/2)*(1/2)^3 = (1/2)^4 = 1/16\)

Soortgelijk:
Met n=5 keer gooien moet je eindigen met KKK, dat betekent dat de 3e, 4e en 5e worp een K moeten zijn.
De tweede worp moet nu een M zijn, anders waren we na 4 keer gooien al klaar met de 3 K's.
De eerste worp doet er niet toe: X = K of M
De kans op XMKKK = \(1 * (1/2)*(1/2)^3 = (1/2)^4 = 1/16\)

Soortgelijk:
Met n=6 keer gooien moet je eindigen met KKK, dat betekent dat de 4e, 5e en 6e worp een K moeten zijn.
De derde worp moet nu een M zijn, anders waren we na 5 keer gooien al klaar met de 3 K's.
De eerste en tweede worp doen er niet toe: X = K of M
De kans op XXMKKK = \(1 * 1 * (1/2)*(1/2)^3 = (1/2)^4 = 1/16\)

Nu wordt het ingewikkelder:
Met n=7 keer gooien moet je eindigen met KKK, dat betekent dat de 5e, 6e en 7e worp een K moeten zijn.
De vierde worp moet nu een M zijn, anders waren we na 6 keer gooien al klaar met de 3 K's.
De eerste, tweede en derde worp mogen alles zijn, behalve KKK, anders waren we na 3 keer gooien al klaar.
De kans op KKK in de eerste 3 worpen hadden we hierboven al berekend: deze is 1/8.
De kans op NIET KKK in de eerste 3 worpen is dus 1 - 1/8 = 7/8
Noem nu *** = alle rijtjes van lengte 3 zonder 3 opeenvolgende K's erin, dan is
de kans op ***MKKK = \((7/8) * (1/2)*(1/2)^3 = 7/128 = 0.0546875\)

Met n=8 keer gooien moet je eindigen met KKK, dat betekent dat de 6e, 7e en 8e worp een K moeten zijn.
De vijfde worp moet nu een M zijn, anders waren we na 7 keer gooien al klaar met de 3 K's.
De eerste, tweede, derde en vierde worp mogen alles zijn, maar mogen geen deelrij KKK bevatten, anders waren we weer te vroeg klaar.
De kans dat we klaar zijn na de eerste 3 worpen is 1/8 (zie hierboven).
De kans dat we klaar zijn na de eerste 4 worpen is 1/16 (zie hierboven).
De kans dat we klaar zijn na 3 of na 4 worpen is dus \(1/8 + 1/16 = 3/16\)
De kans dat we NIET klaar zijn na 3 of na 4 worpen is dus \(1 - 3/16 = 13/16\)
Noem nu **** = alle rijtjes van lengte 4 zonder 3 opeenvolgende K's erin, dan is
de kans op ****MKKK = \((13/16) * (1/2)*(1/2)^3 = 13/256 = 0.05078125\)

En zo verder om te eindigen na n = ... keer gooien.


Lukt dit zo ook om na precies n keer gooien te eindigen bij het eerste rijtje van 16 koppen achter elkaar?

peit hol
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 17 jun 2019, 09:58

Re: Muntjes gooien

Bericht door peit hol » 18 jun 2019, 13:00

Heel erg bedankt! Het heeft me al verder geholpen. Maar wat bedoelt u met na n keer gooien te eindigen met het eerste rijtje van 16? Je kan hier toch oneindig mee doorgaan?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3231
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Muntjes gooien

Bericht door arie » 18 jun 2019, 15:58

Hierboven heb ik de kans berekend dat je na precies n keer gooien je eerste rijtje van 3 opeenvolgende koppen tegenkomt.
Dit wil zeggen: we gooien een munt, en gaan net zo lang door totdat we 3 keer achter elkaar munt gooien.
Dus als we deze reeks hebben:
munt-munt-kop
dan hervatten we vanaf de 4e worp en gaan we verder totdat we 3 keer achter elkaar munt gooien.
Zodra we 3 keer achter elkaar munt gegooid hebben stoppen we.
Het totale aantal worpen dat je hiervoor nodig had noem ik n.

Kan het zijn dat jij een andere kans zoekt, bijvoorbeeld:
Als je met je munt n keer gooit,
hoe groot is dan de kans dat er een aaneengesloten rijtje van 3 (of voor jou 16) keer achter elkaar munt in zit?

of anders:
Hoe vaak moet je gemiddeld met je munt gooien voordat je 3 (of 16) keer achter elkaar munt gooit?

of nog wat anders?

peit hol
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 17 jun 2019, 09:58

Re: Muntjes gooien

Bericht door peit hol » 19 jun 2019, 06:33

Inderdaad de eerste wat u beschrijft. De opdracht is zelfs dat iemand zogenaamd een week lang muntjes achter elkaar gaat gooien en of hij aan een week genoeg heeft om 16 keer kop achter elkaar te gooien. Ik snap uw hele eerste uitleg ook helemaal en heeft me al verder geholpen, alleen heb ik geen idee wat er nu mee kan en wat verder.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3231
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Muntjes gooien

Bericht door arie » 19 jun 2019, 14:27

Om iets te kunnen zeggen "of hij aan een week genoeg heeft om 16 keer kop achter elkaar te gooien" moeten we iets te weten komen over het aantal worpen dat nodig is om een rij van 16 koppen achter elkaar te krijgen.
Kijk daarvoor eens naar deze pagina:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Geometrische_verdeling
tot aan de formule
\(\text{E}(N) = \frac{1}{p}\)
op die pagina.

Bij de geometrische verdeling gaat het er om hoe vaak je moet gooien om 1 keer succes te hebben.
Bijvoorbeeld hoe lang je met een dobbelsteen moet gooien om 1 keer een 6 te gooien.
De kans op een zes is bij elke worp = \(p = \frac{1}{6}\)
De kans op GEEN zes is bij elke worp = \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\)

De kans dat we in de eerste worp gelijk al een 6 gooien = \(P(N=1) = \frac{1}{6}\)
De kans dat we bij de tweede worp pas een 6 gooien = \(P(N=3) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}\)
De kans dat we bij de derde worp onze 6 gooien = \(P(N=3) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}\)
enzovoorts

De kans \(P(N=n)\) is hier de kans dat we in n keer klaar zijn, dus dat we na precies n keer onze 6 gegooid hebben.
We kunnen in 1 keer klaar zijn (als we geluk hebben), maar het kan ook zijn dat we een heel groot aantal keer moeten werpen.
Maar naar verwachting (gemiddeld) zullen we

\(E(N) = \frac{1}{p} = \frac{1}{1/6} = 6\) keer moeten werpen om onze eerste 6 te krijgen.

Voor jouw probleem is de kans op een kop \(p = \frac{1}{2}\),
dus naar verwachting hebben we gemiddeld

\(E(N) = \frac{1}{p} = \frac{1}{1/2} = 2\) worpen nodig om 1 kop te krijgen.

Maar nu willen we niet 1 kop, maar willen we een rij van 16 koppen achter elkaar.
De vraag is immers: hoe veel worpen zullen we gemiddeld nodig hebben om dit doel te bereiken?
(we kunnen daarmee ook inschatten of dit binnen een week te doen is).

Noem \(E(N)_k\) het verwachte aantal worpen dat we gemiddeld nodig hebben om een rij van k koppen te krijgen. Dan is
\(E(N)_1 = E(N) = \frac{1}{1/2} = 2\)
= het verwachte aantal worpen nodig om 1 keer kop te gooien: dit hebben we zojuist hierboven al gezien.

Stel nu dat we weten hoeveel worpen we nodig hebben om een rij van (k-1) koppen te gooien: \(E(N)_{k-1}\)
Van hieruit kunnen we dan nog een keer werpen:
- in de helft van de gevallen zal de volgende worp een kop zijn, in dat geval hebben we onze rij van k koppen, en die hebben we dus bereikt in \(E(N)_{k-1}+ 1\) worpen
- in de andere helft van de gevallen is de volgende worp een munt, in dat geval hebben we \(E(N)_{k-1}+1\) worpen gedaan, maar moeten we weer van voor af aan beginnen om de k koppen te bereiken, en dat zal per definitie naar verwachting nog \(E(N)_k\) worpen duren. In totaal hebben we in dit tweede geval dus \(E(N)_{k-1}+1 + E(N)_k\) worpen nodig om de rij van k koppen te bereiken.

We kunnen nu dus bepalen hoeveel worpen we naar verwachting nodig hebben om k koppen te krijgen:

\(E(N)_k = \frac{1}{2}\cdot \left( E(N)_{k-1}+ 1 \right) + \frac{1}{2}\cdot \left( E(N)_{k-1}+ 1 + E(N)_k \right) \)

Kan je deze formule omzetten naar de vorm:

\(E(N)_k = ... \cdot E(N)_{k-1}+ ... \)

Als je dat hebt, dan kan je samen met \(E(N)_1 = 2\) bepalen wat \(E(N)_2\) is,
en vervolgens daarmee \(E(N)_3\) en vervolgens ... enzovoorts totdat je bij \(E(N)_{16}\) bent.

Waar kom je zo op uit?

peit hol
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 17 jun 2019, 09:58

Re: Muntjes gooien

Bericht door peit hol » 20 jun 2019, 17:53

Ik snap helemaal wat u bedoeld tot net aan het einde. Ik moet zeker de getallen die ik uit reken steeds verder gebruiken om bijvoorbeeld dan , enz. te berekenen? Ik kan natuurlijk ook gewoon E(N)k bereken met de formule , alleen dat is dan denk ik niet de bedoeling omdat ik moet doorrekenen. Maar hoe kom ik dan aan bijvoorbeeld die in de formule gebruikt moet worden? Of moet die hoeft die niet gebruikt te worden in de formule? Ik snap namelijk ook niet helemaal hoe ik de formule kan omzetten. Dat is toch niet het eindresultaat? Ik hoop dat u begrijpt wat ik bedoel. In ieder geval al bedankt voor uw geweldige hulp tot nu toe.
(Ik ben niet zo goed met het gebruik van formules hier, hopelijk begrijpt u wat ik bedoel)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3231
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Muntjes gooien

Bericht door arie » 20 jun 2019, 19:14

Zoek het niet te ver: het is alleen maar wegwerken van haakjes en verzamelen van bij elkaar horende termen:

\(E(N)_k = \frac{1}{2}\cdot \left( E(N)_{k-1}+ 1 \right) + \frac{1}{2}\cdot \left( E(N)_{k-1}+ 1 + E(N)_k \right) \)

vermenigvuldig links en rechts met 2:

\(2E(N)_k = \left( E(N)_{k-1}+ 1 \right) + \left( E(N)_{k-1}+ 1 + E(N)_k \right) \)

ofwel

\(2E(N)_k = E(N)_{k-1}+ 1 + E(N)_{k-1}+ 1 + E(N)_k \)

trek links en rechts \(E(N)_k\) af:

\(E(N)_k = E(N)_{k-1}+ 1 + E(N)_{k-1}+ 1 \)

ofwel:

\(E(N)_k = 2E(N)_{k-1}+ 2 \)


We hebben nu de formule waarmee we \(E(N)_k\) kunnen uitrekenen, dit is hoeveel worpen we naar verwachting gemiddeld nodig hebben om een rij van k koppen achter elkaar te krijgen.
Voorwaarde is dat we weten hoeveel worpen we gemiddeld nodig hebben om een rij van (k-1) koppen achter elkaar te krijgen, dat is \(E(N)_{k-1}\).

We weten al dat we voor 1 kop gemiddeld 2 keer moeten werpen (zie de eerdere post):
\(E(N)_1 = 2\).
Dit kunnen we gebruiken in bovenstaande formule om \(E(N)_2\) te bepalen = hoeveel worpen we gemiddeld nodig hebben om 2 koppen achter elkaar te werpen:
\(E(N)_2 = 2E(N)_1 + 2 = 2\cdot 2 + 2 = 6\).
We moeten dus gemiddeld 6 keer werpen om 2 koppen achter elkaar te krijgen. Als we geluk hebben zijn we na slechts 2 keer klaar, maar het kan ook zijn dat het veel meer dan 6 worpen duurt voordat we 2 koppen achter elkaar gooien. Gemiddeld (als we dit experiment vaak herhalen) zullen we 6 worpen nodig hebben.

Nu we \(E(N)_2\) kennen, kunnen we \(E(N)_3\) berekenen:
\(E(N)_3 = 2E(N)_2 + 2 = 2\cdot 6 + 2 = 14\).
We moeten dus gemiddeld 14 keer werpen om 3 koppen achter elkaar te krijgen.

Voor 4 koppen wordt dit:
\(E(N)_4 = 2E(N)_3 + 2 = 2\cdot 14 + 2 = 30\).

enzovoorts.

Wat vinden we dan uiteindelijk voor \(E(N)_{16}\), het aantal worpen dat we naar verwachting gemiddeld nodig hebben om 16 koppen achter elkaar te gooien?

peit hol
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 17 jun 2019, 09:58

Re: Muntjes gooien

Bericht door peit hol » 20 jun 2019, 22:20

Ja super, ik snap het nu! Zodra ik tijd heb zal ik het uitwerken. Heel erg bedankt @arie!

peit hol
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 17 jun 2019, 09:58

Re: Muntjes gooien

Bericht door peit hol » 21 jun 2019, 10:16

Ik kom uit op gemiddeld 131070 keer gooien om een reeks van 16 te behalen. Daarmee kan ik dan berekenen hoelang hij daar over doet, en dat komt uit op minder dan een week. Bedankt voor de hulp!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3231
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Muntjes gooien

Bericht door arie » 21 jun 2019, 20:21

OK!
Gemiddeld 131070.
Maar dit is letterlijk een gemiddelde van het aantal keren dat je nodig om je rij van 16 koppen tegen te komen.
Het kan zijn dat het lukt binnen 131070 keer, maar het kan ook zijn dat je meer worpen nodig hebt voordat je de 16 koppen op een rij tegenkomt.

Mocht je je antwoord nog willen uitbreiden, dan kan je ook nog de kans uitrekenen dat je binnen 131070 keer gooien je rij van 16 koppen ook echt te pakken hebt.
Daarvoor kan je alle kansen op 16 koppen in 16, 17, 18, .... , 131070 keer gooien bij elkaar optellen (vergelijkbaar met de kansen die ik had bepaald in mijn allereerste post hierboven).
Daarvoor is het dan wel nodig dat je een programma voor je rekenmachine of computer kan schrijven (131070 kansen is erg veel om met de hand, dus met pen en papier, te berekenen).
Als ik de computer die berekening laat maken, dan vind ik
- een kans van 0.6321 = 63.21% dat ik de rij van 16 koppen binnen die 131070 keer gooien echt gevonden heb
- een kans van 0.95 = 95% dat ik de rij van 16 koppen in 392622 of minder keer gooien echt gevonden heb
- een kans van 0.99 = 99% dat ik de rij van 16 koppen in 603547 of minder keer gooien echt gevonden heb
Je wist al: het kan altijd gebeuren (hoe vaak je ook gooit) dat je je rij van 16 koppen niet tegenkomt...
Er is dus geen aantal keren gooien waarbij je 100% zeker weet dat je de rij van 16 koppen gegooid zal hebben.

Plaats reactie